Решение задачи о прибыли фирмы: теория вероятностей

Задача Пусть \( X \) — случайная величина, равная общему размеру прибыли фирмы (в тыс. руб.). Обозначим вероятности удачи в проектах: \( p_1 = 0,8 \) (неудача \( q_1 = 1 - 0,8 = 0,2 \)) \( p_2 = 0,7 \) (неудача \( q_2 = 1 - 0,7 = 0,3 \)) \( p_3 = 0,4 \) (неудача \( q_3 = 1 - 0,4 = 0,6 \)) Прибыль при удаче: \( a_1 = 400 \), \( a_2 = 500 \), \( a_3 = 900 \). 1. Составим ряд распределения. Рассмотрим все возможные комбинации исходов (У — удача, Н — неудача): 1) ННН: \( X = 0 \). Вероятность \( P(0) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,6 = 0,036 \) 2) УНН: \( X = 400 \). Вероятность \( P(400) = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,6 = 0,144 \) 3) НУН: \( X = 500 \). Вероятность \( P(500) = q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,6 = 0,084 \) 4) ННУ: \( X = 900 \). Вероятность \( P(900) = q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,4 = 0,024 \) 5) УУН: \( X = 400 + 500 = 900 \). Вероятность \( P = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,6 = 0,336 \) 6) УНУ: \( X = 400 + 900 = 1300 \). Вероятность \( P(1300) = p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,4 = 0,096 \) 7) НУУ: \( X = 500 + 900 = 1400 \). Вероятность \( P(1400) = q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,056 \) 8) УУУ: \( X = 400 + 500 + 900 = 1800 \). Вероятность \( P(1800) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,224 \) Объединим значения для \( X = 900 \): \( P(900) = 0,024 + 0,336 = 0,360 \). Ряд распределения: X: 0; 400; 500; 900; 1300; 1400; 1800 P: 0,036; 0,144; 0,084; 0,360; 0,096; 0,056; 0,224 Проверка: \( 0,036 + 0,144 + 0,084 + 0,360 + 0,096 + 0,056 + 0,224 = 1 \). 2. Найдем математическое ожидание \( M(X) \). Так как прибыль от каждого проекта — это независимая случайная величина, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: \[ M(X) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) \] \[ M(X_1) = 400 \cdot 0,8 = 320 \] \[ M(X_2) = 500 \cdot 0,7 = 350 \] \[ M(X_3) = 900 \cdot 0,4 = 360 \] \[ M(X) = 320 + 350 + 360 = 1030 \] Ответ: Математическое ожидание общей прибыли составляет 1030 тыс. руб.