Решение контрольной работы: Тригонометрические уравнения. Вариант 6

Контрольная работа: Тригонометрические уравнения. Вариант 6. 1. \( 2tgx = 5 \) Разделим обе части на 2: \( tgx = 2,5 \) \( x = arctg(2,5) + \pi n, n \in Z \) Ответ: \( arctg(2,5) + \pi n, n \in Z \). 2. \( 3 - 3\sin 3x = 0 \) \( 3\sin 3x = 3 \) \( \sin 3x = 1 \) (частный случай) \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z \) Разделим на 3: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z \) Ответ: \( \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z \). 3. \( 2\cos x + 2 = 0 \) \( 2\cos x = -2 \) \( \cos x = -1 \) (частный случай) \( x = \pi + 2\pi n, n \in Z \) Ответ: \( \pi + 2\pi n, n \in Z \). 4. \( tg 7x = 0 \) \( 7x = \pi n, n \in Z \) \( x = \frac{\pi n}{7}, n \in Z \) Ответ: \( \frac{\pi n}{7}, n \in Z \). 5. \( \sin(x + \frac{\pi}{6}) = 0 \) \( x + \frac{\pi}{6} = \pi n, n \in Z \) \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z \) Ответ: \( -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z \). 6. \( \cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{x}{2} = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n \) \( \frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) Умножим на 2: \( x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n, n \in Z \) Ответ: \( \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n, n \in Z \). 7. \( tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1 \) \( 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z \) \( 2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n \) \( 2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n \) \( x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z \) Ответ: \( -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z \). 8. \( \sin \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{x}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z \) Умножим на 3: \( x = (-1)^k \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in Z \) Ответ: \( (-1)^k \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in Z \). 9. \( \cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) \( 3x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z \) Рассмотрим два случая: 1) \( 3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \) 2) \( 3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 3x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3} \) Ответ: \( \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{2\pi n}{3}, n \in Z \). 10. \( 2\cos^2 x - 5\cos x = 0 \) Вынесем общий множитель: \( \cos x (2\cos x - 5) = 0 \) 1) \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z \) 2) \( 2\cos x - 5 = 0 \Rightarrow \cos x = 2,5 \) — решений нет, так как \( |\cos x| \le 1 \). Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z \). 11. \( \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})(tgx + 1) = 0 \) Учитываем ОДЗ: \( \cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \). 1) \( \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{8} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) 2) \( tgx + 1 = 0 \Rightarrow tgx = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \) Все корни входят в ОДЗ. Ответ: \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in Z \). 12. \( (tg \frac{x}{2} - 1)(\cos 2x + 1) = 0 \) Учитываем ОДЗ: \( \cos \frac{x}{2} \neq 0 \Rightarrow \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \pi + 2\pi k \). 1) \( tg \frac{x}{2} - 1 = 0 \Rightarrow tg \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) 2) \( \cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -1 \Rightarrow 2x = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) Заметим, что первая серия решений является подмножеством второй. Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z \).