Решение задачи по геометрии: Параллелограмм и биссектриса

Вот решение задачи по геометрии, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(\angle B = 120^\circ\). \(BE\) — биссектриса \(\angle B\) (\(E \in AD\)). \(AE = 6\) см, \(DE = 2\) см. Найти: \(P_{ABCD}\) — ? Решение: 1) Найдем длину стороны \(AD\). Так как точка \(E\) лежит на стороне \(AD\), то: \[AD = AE + DE = 6 + 2 = 8 \text{ (см)}\] Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то \(BC = AD = 8\) см. 2) Рассмотрим углы при параллельных прямых. Биссектриса \(BE\) делит угол \(B\) пополам, значит: \[\angle ABE = \angle CBE = 120^\circ : 2 = 60^\circ\] Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle CBE = \angle AEB = 60^\circ\) (как накрест лежащие углы при секущей \(BE\)). 3) Рассмотрим треугольник \(\triangle ABE\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Найдем \(\angle BAE\) (угол \(A\)): В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), значит: \[\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\] Теперь мы видим, что в \(\triangle ABE\) два угла равны по \(60^\circ\) (\(\angle A = 60^\circ\) и \(\angle AEB = 60^\circ\)). Следовательно, третий угол \(\angle ABE\) тоже равен \(60^\circ\). Значит, \(\triangle ABE\) — равносторонний. 4) Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны: \[AB = AE = 6 \text{ (см)}\] Следовательно, боковая сторона параллелограмма \(AB = 6\) см. Противоположная ей сторона \(CD = AB = 6\) см. 5) Вычислим периметр параллелограмма по формуле \(P = 2 \cdot (AB + AD)\): \[P = 2 \cdot (6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28 \text{ (см)}\] Ответ: 28