Решение задачи: Параллелограмм и Биссектрисы

Вот решение задачи, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(CD = 14\) см. \(AK\) — биссектриса \(\angle A\). \(DK\) — биссектриса \(\angle D\). \(K \in BC\). Найти: 1) \(AD\) — ? 2) \(\angle AKD\) — ? Решение: 1) Найдем сторону \(AD\). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(AB = CD = 14\) см. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Для биссектрисы \(AK\): \(\angle BAK = \angle KAD\) (по определению), а \(\angle BKA = \angle KAD\) (как накрест лежащие при \(BC \parallel AD\)). Значит, \(\angle BAK = \angle BKA\), и \(\triangle ABK\) — равнобедренный. Отсюда \(BK = AB = 14\) см. Для биссектрисы \(DK\): аналогично \(\triangle CDK\) — равнобедренный, значит \(KC = CD = 14\) см. Сторона \(BC = BK + KC = 14 + 14 = 28\) см. Так как \(AD = BC\), то \(AD = 28\) см. 2) Найдем \(\angle AKD\). В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): \[\angle A + \angle D = 180^\circ\] Так как \(AK\) и \(DK\) — биссектрисы, то в треугольнике \(\triangle AKD\): \[\angle KAD = \frac{1}{2}\angle A, \quad \angle KDA = \frac{1}{2}\angle D\] Сумма этих двух углов: \[\angle KAD + \angle KDA = \frac{1}{2}(\angle A + \angle D) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\] Сумма углов треугольника \(\triangle AKD\) равна \(180^\circ\), следовательно: \[\angle AKD = 180^\circ - (\angle KAD + \angle KDA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\] Ответ: 1) \(AD = 28\) см. 2) \(\angle AKD = 90^\circ\).