Решение задачи: средняя линия равнобедренной трапеции

Вот решение задачи, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)). \(BH\) — высота, \(H \in AD\). \(AH = 3\), \(HD = 10\). Найти: \(m\) (средняя линия) — ? Решение: 1) Найдем длину большего основания \(AD\): \[AD = AH + HD = 3 + 10 = 13\] 2) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Меньший из них равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований. Заметим, что средняя линия трапеции \(m\) по определению равна полусумме оснований: \[m = \frac{BC + AD}{2}\] 3) Существует геометрическое свойство: в равнобедренной трапеции длина отрезка большего основания от вершины до основания высоты, проведенной из противоположной вершины (в нашем случае это отрезок \(HD\)), равна средней линии трапеции. Докажем это: Пусть \(BC = b\), \(AD = a\). Тогда \(AH = \frac{a - b}{2}\). Следовательно, \(HD = AD - AH = a - \frac{a - b}{2} = \frac{2a - a + b}{2} = \frac{a + b}{2}\). Так как \(m = \frac{a + b}{2}\), то \(m = HD\). 4) По условию \(HD = 10\), следовательно: \[m = 10\] Ответ: 10