Решение задачи: Нахождение стороны трапеции

Вот решение задачи, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \(ABCD\) — трапеция. \(CD = 36\). \(\angle ABC = 60^\circ\), \(\angle BCD = 135^\circ\). Найти: \(AB\) — ? Решение: 1) Проведем две высоты трапеции: \(BH_1\) из вершины \(B\) и \(CH_2\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). Высоты трапеции равны между собой: \(BH_1 = CH_2 = h\). 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CH_2D\). Так как \(\angle BCD = 135^\circ\), а \(BC \parallel AD\), то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\). \(\angle ADC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). В \(\triangle CH_2D\) (\(\angle H_2 = 90^\circ\)): \[h = CD \cdot \sin(45^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}\] 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH_1\). Аналогично найдем угол \(A\): \(\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Однако, для решения удобнее использовать угол \(B\) в самом треугольнике. Проведем высоту \(BH_1\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABH_1\) угол \(\angle ABH_1 = \angle ABC - 90^\circ = 60^\circ - 90^\circ\) (это если угол \(B\) острый, но здесь он тупой). Правильнее: в \(\triangle ABH_1\) (\(\angle H_1 = 90^\circ\)), угол \(\angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) не подходит для прямоугольного треугольника, значит высота падает на продолжение основания или трапеция имеет другой вид. Воспользуемся универсальной связью через высоту: \[h = AB \cdot \sin(\angle A)\] Так как \(\angle ABC = 60^\circ\), то \(\angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла (\(60^\circ\)). \[h = AB \cdot \sin(60^\circ)\] \[18\sqrt{2} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] 4) Выразим \(AB\): \[AB = \frac{18\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\] Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[AB = \frac{36\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{6}\] Ответ: \(12\sqrt{6}\).