Решение задачи о трапеции с параллельными прямыми

Вот решение задачи, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \(KLMN\) — трапеция (\(LM \parallel KN\)). \(EF \parallel KN\), \(E \in KL\), \(F \in MN\). \(KN = 45\), \(LM = 30\). \(MF : MN = 1 : 5\). Найти: \(EF\) — ? Решение: 1) Проведем диагональ \(LN\). Пусть она пересекает отрезок \(EF\) в точке \(O\). Тогда отрезок \(EF\) состоит из двух частей: \(EF = EO + OF\). 2) Рассмотрим \(\triangle KLN\). Так как \(EO \parallel KN\), то \(\triangle ELO \sim \triangle KLN\) по двум углам. Из подобия треугольников и теоремы Фалеса следует, что отношение отрезков на боковых сторонах сохраняется: \[\frac{MF}{MN} = \frac{LE}{LK} = \frac{1}{5}\] Тогда \(\frac{LO}{LN} = \frac{LE}{LK} = \frac{1}{5}\). Но для нахождения \(EO\) нам нужно отношение \(\frac{LO}{LN}\) от вершины \(L\). Заметим, что если \(MF : MN = 1 : 5\), то по теореме Фалеса для другой стороны \(LE : LK = 1 : 5\). В \(\triangle KLN\): \[\frac{EO}{KN} = \frac{LO}{LN}\] Так как \(MF : MN = 1 : 5\), то \(NF : NM = 4 : 5\). Следовательно, \(NO : NL = 4 : 5\). Тогда \(LO : LN = 1 : 5\). \[EO = KN \cdot \frac{LO}{LN} = 45 \cdot \frac{1}{5} = 9\] 3) Рассмотрим \(\triangle MLN\). Так как \(OF \parallel LM\), то \(\triangle NFO \sim \triangle NML\). Коэффициент подобия равен отношению \(NF\) к \(NM\). Так как \(MF : MN = 1 : 5\), то: \[NF = MN - MF = MN - \frac{1}{5}MN = \frac{4}{5}MN\] Следовательно, \(\frac{NF}{NM} = \frac{4}{5}\). Из подобия треугольников: \[\frac{OF}{LM} = \frac{NF}{NM} = \frac{4}{5}\] \[OF = LM \cdot \frac{4}{5} = 30 \cdot \frac{4}{5} = 6 \cdot 4 = 24\] 4) Найдем длину всего отрезка \(EF\): \[EF = EO + OF = 9 + 24 = 33\] Ответ: 33.