Решение задачи: Найти длину отрезка EF в трапеции

Дано: \(KLMN\) — трапеция, \(LM \parallel KN\). \(EF \parallel KN\), \(E \in KL\), \(F \in MN\). \(KN = 45\), \(LM = 30\). \(MF : MN = 1 : 5\). Найти: \(EF\). Решение: 1. Рассмотрим боковую сторону \(MN\). По условию \(MF : MN = 1 : 5\). Пусть \(MF = x\), тогда \(MN = 5x\). Следовательно, \(FN = MN - MF = 5x - x = 4x\). 2. Проведем диагональ \(LN\). Пусть она пересекает отрезок \(EF\) в точке \(O\). Так как \(EF \parallel KN\) и \(EF \parallel LM\), то \(EO \parallel LM\) и \(OF \parallel KN\). 3. Рассмотрим треугольник \(LMN\). Отрезок \(OF\) параллелен стороне \(LM\). По теореме о подобии треугольников (или по теореме Фалеса), треугольник \(NOF\) подобен треугольнику \(NLM\). Однако удобнее рассмотреть подобие треугольников \(MOF\) и \(MKN\) нельзя, поэтому рассмотрим треугольник \(MLN\) и \(MFO\) (не совсем верно). Правильнее: рассмотрим треугольник \(KMN\). В нем \(OF \parallel KN\). Значит, \(\triangle MOF \sim \triangle MKN\) не подходит, так как \(F\) на \(MN\). Рассмотрим \(\triangle LMN\). В нем \(OF \parallel KN\) неверно. \(OF \parallel LM\). Тогда \(\triangle NOF \sim \triangle NLM\). Коэффициент подобия: \[k_1 = \frac{NF}{NM} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}\] Отсюда: \[\frac{OF}{LM} = \frac{4}{5} \Rightarrow OF = \frac{4}{5} \cdot LM = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24\] 4. Рассмотрим треугольник \(KLN\). В нем \(EO \parallel KN\). Треугольник \(LEO\) подобен треугольнику \(LKN\). Коэффициент подобия \(k_2 = \frac{LE}{LK}\). По теореме Фалеса \(\frac{LE}{LK} = \frac{MF}{MN}\), так как прямые параллельны. \[k_2 = \frac{MF}{MN} = \frac{1}{5}\] Отсюда: \[\frac{EO}{KN} = \frac{1}{5} \Rightarrow EO = \frac{1}{5} \cdot KN = \frac{1}{5} \cdot 45 = 9\] 5. Длина искомого отрезка \(EF\) равна сумме длин его частей: \[EF = EO + OF = 9 + 24 = 33\] Ответ: 33.