Решение задачи 697: Доказательство формулы последовательности

Задача №697. Дано: Последовательность \( (a_n) \), где \( a_1 = 2 \) и \( 3a_{n+1} = 3a_n + 1 \). Доказать: \( a_n = 2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5 \). Доказательство: 1. Преобразуем рекуррентную формулу, разделив обе части на 3: \[ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{3} \] Это определение арифметической прогрессии, где разность \( d = \frac{1}{3} \). Однако, в условии задачи в формуле \( 3a_{n+1} = 3a_n + 1 \) допущена опечатка, так как при такой формуле последовательность не будет соответствовать искомой \( a_n = 2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5 \). 2. Проанализируем искомую формулу \( a_n = 2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5 \). Проверим первый член: \[ a_1 = 2,5 \cdot 3^{1-1} - 0,5 = 2,5 \cdot 1 - 0,5 = 2 \] Это совпадает с условием \( a_1 = 2 \). 3. Найдем \( a_{n+1} \) через искомую формулу: \[ a_{n+1} = 2,5 \cdot 3^{(n+1)-1} - 0,5 = 2,5 \cdot 3^n - 0,5 \] 4. Чтобы искомая формула была верна, рекуррентное соотношение в учебнике должно иметь вид \( a_{n+1} = 3a_n + 1 \). Проверим это: Подставим \( a_n \) в правую часть: \[ 3a_n + 1 = 3(2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5) + 1 \] \[ 3a_n + 1 = 2,5 \cdot 3^n - 1,5 + 1 \] \[ 3a_n + 1 = 2,5 \cdot 3^n - 0,5 \] Мы получили выражение для \( a_{n+1} \). Вывод: Формула \( a_n = 2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5 \) верно задает последовательность, если рекуррентное правило имеет вид \( a_{n+1} = 3a_n + 1 \). В тексте задачи на фото в выражении \( 3a_{n+1} \) коэффициент 3 перед \( a_{n+1} \) является лишним (опечаткой). При условии \( a_{n+1} = 3a_n + 1 \) и \( a_1 = 2 \) доказательство выполнено методом математической индукции или прямой подстановкой.