Решение контрольной работы по геометрии 7 класс, Вариант 3

Административная контрольная работа по геометрии (7 класс) Вариант 3. Задание 1. Неверными утверждениями являются: 2) Основания равнобедренных треугольников равны. (Это неверно, так как основания разных треугольников могут быть любой длины). 4) Если радиус окружности равен 12 см, то диаметр окружности равен 6 см. (Это неверно, так как диаметр в два раза больше радиуса: \( D = 2 \cdot R = 2 \cdot 12 = 24 \) см). Ответ: 2, 4. Задание 2. Дано: угол при прямой \( a \) равен \( 135^\circ \), угол при прямой \( b \) равен \( 35^\circ \). Решение: Данные углы являются соответственными. По признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. В данном случае \( 135^\circ \neq 35^\circ \). Также проверим сумму односторонних углов. Угол, смежный с углом \( 135^\circ \), равен \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \). Если бы прямые были параллельны, этот угол должен был бы равняться \( 35^\circ \) (как накрест лежащий) или сумма внутренних односторонних углов должна была быть \( 180^\circ \). \( 135^\circ + 35^\circ = 170^\circ \), что не равно \( 180^\circ \). Ответ: прямые \( a \) и \( b \) не параллельны. Задание 3. На рисунке изображены треугольники \( \triangle DFE \) и \( \triangle MFK \). Из рисунка видно (отмечено штрихами): 1) \( DF = MF \) 2) \( EF = KF \) 3) \( \angle DFE = \angle MFK \) как вертикальные углы. Следовательно, \( \triangle DFE = \triangle MFK \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Задание 4. При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов, которые принимают всего два значения. Пусть \( \angle 1 = 75^\circ \). Тогда смежный с ним \( \angle 2 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \). Все острые углы (вертикальные и накрест лежащие) будут равны \( 75^\circ \). Все тупые углы будут равны \( 105^\circ \). Ответ: четыре угла по \( 75^\circ \) и четыре угла по \( 105^\circ \). Задание 5. Дано: Периметр \( P = 82 \) см. Треугольник равнобедренный, значит боковые стороны равны. Пусть боковая сторона \( x \) см, тогда основание \( x - 5 \) см. Составим уравнение: \[ x + x + (x - 5) = 82 \] \[ 3x - 5 = 82 \] \[ 3x = 87 \] \[ x = 29 \] Боковые стороны равны 29 см. Основание: \( 29 - 5 = 24 \) см. Ответ: 29 см, 29 см, 24 см. Задание 6. Дано: \( P_{KPT} = 40 \) см, \( PT = 16 \) см, \( KT : KP = 1 : 2 \). 1) Найдем стороны. Сумма сторон \( KT \) и \( KP \) равна: \( 40 - 16 = 24 \) см. Пусть \( KT = y \), тогда \( KP = 2y \). \[ y + 2y = 24 \] \[ 3y = 24 \] \[ y = 8 \] Значит, \( KT = 8 \) см, \( KP = 2 \cdot 8 = 16 \) см. Стороны треугольника: \( PT = 16 \) см, \( KP = 16 \) см, \( KT = 8 \) см. 2) Докажем, что \( \angle K = \angle T \). Так как \( PT = 16 \) см и \( KP = 16 \) см, то \( PT = KP \). Следовательно, \( \triangle KPT \) — равнобедренный с основанием \( KT \). По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, значит \( \angle K = \angle T \). Что и требовалось доказать.