Решение Задачи №38: Момент Инерции Полого Прямоугольника

Задача №38 Дано: Сечение представляет собой прямоугольник с прямоугольным отверстием в центре. Размеры внешнего прямоугольника: Ширина \( B = 4 + 4 = 8 \text{ см} \) Высота \( H = 3 + 3 = 6 \text{ см} \) Размеры внутреннего отверстия: Ширина \( b = 3 + 3 = 6 \text{ см} \) Высота \( h = 2 + 2 = 4 \text{ см} \) Требуется найти момент инерции \( I_x \) относительно главной центральной оси X. Решение: 1. Момент инерции полого сечения, у которого центры тяжести составных частей совпадают с общей центральной осью, вычисляется как разность моментов инерции внешнего и внутреннего прямоугольников. 2. Формула момента инерции прямоугольника относительно центральной оси: \[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \] 3. Вычислим момент инерции внешнего прямоугольника: \[ I_{x1} = \frac{B \cdot H^3}{12} = \frac{8 \cdot 6^3}{12} = \frac{8 \cdot 216}{12} = 8 \cdot 18 = 144 \text{ см}^4 \] 4. Вычислим момент инерции внутреннего прямоугольного отверстия: \[ I_{x2} = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{6 \cdot 4^3}{12} = \frac{6 \cdot 64}{12} = \frac{64}{2} = 32 \text{ см}^4 \] 5. Находим искомый момент инерции всего сечения: \[ I_x = I_{x1} - I_{x2} = 144 - 32 = 112 \text{ см}^4 \] Ответ: 112