Решение задач: Площадь параллелограмма и трапеции

Задача 1. Дано: \(S = 224\) см\(^2\) \(a = 8\) см Найти: \(h_a\) Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[S = a \cdot h_a\] Отсюда высота равна: \[h_a = \frac{S}{a}\] \[h_a = \frac{224}{8} = 28 \text{ (см)}\] Ответ: 28 см. Задача 2. Дано: \(S_{NRSE} = 76\) \(K\) — середина \(SE\) Найти: \(S_{NRKE}\) Решение: 1) Площадь параллелограмма \(S = a \cdot h\). Пусть основание \(SE = a\), тогда \(S_{NRSE} = SE \cdot h = 76\). 2) Трапеция \(NRKE\) имеет основания \(NR\) и \(EK\). Так как \(NRSE\) — параллелограмм, то \(NR = SE = a\). 3) Так как \(K\) — середина \(SE\), то \(EK = \frac{1}{2} SE = \frac{1}{2} a\). 4) Площадь трапеции: \[S_{NRKE} = \frac{NR + EK}{2} \cdot h = \frac{a + 0,5a}{2} \cdot h = \frac{1,5a}{2} \cdot h = 0,75 \cdot (a \cdot h)\] 5) Подставим значение \(a \cdot h = 76\): \[S_{NRKE} = 0,75 \cdot 76 = 57\] Ответ: 57. Задача 3. Дано: Стороны \(a = 51\) см, \(b = 24\) см. Диагональ \(d \perp b\). Найти: \(S\) Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной \(b\), диагональю \(d\) и стороной \(a\) (которая является гипотенузой). 2) По теореме Пифагора найдем диагональ \(d\), которая является высотой к стороне \(b\): \[d = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{51^2 - 24^2} = \sqrt{2601 - 576} = \sqrt{2025} = 45 \text{ (см)}\] 3) Площадь параллелограмма: \[S = b \cdot d = 24 \cdot 45 = 1080 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 1080 см\(^2\). Задача 4. Дано: \(a = 6\) см, \(b = 30\) см \(\alpha = 30^\circ\) Найти: \(S\) Решение: Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними: \[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\] \[S = 6 \cdot 30 \cdot \sin(30^\circ) = 180 \cdot 0,5 = 90 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 90 см\(^2\). Задача 5. Дано: Трапеция равнобедренная. \(a = 16\), \(b = 20\) \(\alpha = 45^\circ\) Найти: \(S\) Решение: 1) Проведем две высоты из тупых углов к большему основанию. Они отсекают на большем основании отрезок, равный меньшему основанию, и два равных отрезка \(x\): \[x = \frac{b - a}{2} = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2\] 2) В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\) катеты равны, значит высота \(h = x = 2\). 3) Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{16 + 20}{2} \cdot 2 = 36\] Ответ: 36.