Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 6x_1 + 8x_3 - 6x_4 + 2 = 0 \\ 10x_1 - 10x_2 - 2x_3 - 8x_4 - 42 = 0 \\ 4x_1 - 2x_2 - 2x_3 + 10x_4 - 12 = 0 \\ -4x_1 - 2x_2 - 2x_3 - 4 = 0 \end{cases} \] Приведем систему к стандартному виду \( Ax = B \), перенеся свободные члены в правую часть и разделив уравнения на общие множители для упрощения расчетов: 1) \( 6x_1 + 0x_2 + 8x_3 - 6x_4 = -2 \) (делим на 2) \(\rightarrow 3x_1 + 0x_2 + 4x_3 - 3x_4 = -1 \) 2) \( 10x_1 - 10x_2 - 2x_3 - 8x_4 = 42 \) (делим на 2) \(\rightarrow 5x_1 - 5x_2 - x_3 - 4x_4 = 21 \) 3) \( 4x_1 - 2x_2 - 2x_3 + 10x_4 = 12 \) (делим на 2) \(\rightarrow 2x_1 - x_2 - x_3 + 5x_4 = 6 \) 4) \( -4x_1 - 2x_2 - 2x_3 + 0x_4 = 4 \) (делим на -2) \(\rightarrow 2x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = -2 \) Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\ 5 & -5 & -1 & -4 & | & 21 \\ 2 & -1 & -1 & 5 & | & 6 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & | & -2 \end{pmatrix} \] Выполним преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду. Вычтем из 3-й строки 4-ю: \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\ 5 & -5 & -1 & -4 & | & 21 \\ 0 & -2 & -2 & 5 & | & 8 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & | & -2 \end{pmatrix} \] Для удобства поставим 4-ю строку на первое место и исключим \( x_1 \) из остальных: \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & | & -2 \\ 3 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\ 5 & -5 & -1 & -4 & | & 21 \\ 0 & -2 & -2 & 5 & | & 8 \end{pmatrix} \] Умножим 1-ю строку на 1.5 и вычтем из 2-й; умножим 1-ю на 2.5 и вычтем из 3-й: \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & -1.5 & 2.5 & -3 & | & 2 \\ 0 & -7.5 & -3.5 & -4 & | & 26 \\ 0 & -2 & -2 & 5 & | & 8 \end{pmatrix} \] Умножим 2-ю строку на 5 и вычтем из 3-й: \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & -1.5 & 2.5 & -3 & | & 2 \\ 0 & 0 & -16 & 11 & | & 16 \\ 0 & -2 & -2 & 5 & | & 8 \end{pmatrix} \] Преобразуем 4-ю строку, используя 2-ю (умножим 4-ю на 1.5, а 2-ю на 2 и вычтем): \( 1.5 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1.5) = 0 \) \( 1.5 \cdot (-2) - 2 \cdot (2.5) = -8 \) \( 1.5 \cdot 5 - 2 \cdot (-3) = 13.5 \) \( 1.5 \cdot 8 - 2 \cdot 2 = 8 \) Получаем строку: \( 0, 0, -8, 13.5, | 8 \). Теперь уберем \( x_3 \) из последней строки, используя 3-ю строку (умножим новую 4-ю на 2 и вычтем из нее 3-ю): \( 2 \cdot (-8) - (-16) = 0 \) \( 2 \cdot 13.5 - 11 = 16 \) \( 2 \cdot 8 - 16 = 0 \) Получаем: \( 16x_4 = 0 \), следовательно \( x_4 = 0 \). Теперь находим остальные переменные методом обратного хода: 1) Из 3-й строки: \( -16x_3 + 11(0) = 16 \rightarrow -16x_3 = 16 \rightarrow x_3 = -1 \). 2) Из 2-й строки: \( -1.5x_2 + 2.5(-1) - 3(0) = 2 \rightarrow -1.5x_2 - 2.5 = 2 \rightarrow -1.5x_2 = 4.5 \rightarrow x_2 = -3 \). 3) Из 1-й строки: \( 2x_1 + 1(-3) + 1(-1) + 0(0) = -2 \rightarrow 2x_1 - 4 = -2 \rightarrow 2x_1 = 2 \rightarrow x_1 = 1 \). Ответ: \( x_1 = 1 \) \( x_2 = -3 \) \( x_3 = -1 \) \( x_4 = 0 \)