Решение задач по теме "Конус" (I вариант)

Ниже представлены решения первых десяти задач из самостоятельной работы по теме «Конус» (I вариант), оформленные для записи в тетрадь. Самостоятельная работа по теме «Конус» (I вариант) Задача 1. Дано: \(h = 8\), \(d = 30\). Найти: \(l\). Решение: Радиус основания \(r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: \[l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\] Ответ: 17. Задача 2. Дано: \(h = 21\), \(l = 75\). Найти: \(d\). Решение: Найдем радиус \(r\) по теореме Пифагора: \[r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{(75-21)(75+21)} = \sqrt{54 \cdot 96} = \sqrt{5184} = 72\] Диаметр \(d = 2r = 2 \cdot 72 = 144\). Ответ: 144. Задача 3. Дано: \(d = 144\), \(l = 75\). Найти: \(h\). Решение: Радиус \(r = \frac{d}{2} = 72\). По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 72^2} = \sqrt{(75-72)(75+72)} = \sqrt{3 \cdot 147} = \sqrt{441} = 21\] Ответ: 21. Задача 4. Дано: \(S_{осн} = 36\pi\), \(h = 3\). Найти: \(S_{ос}\). Решение: Площадь основания \(S_{осн} = \pi r^2 = 36\pi\), откуда \(r^2 = 36\), значит \(r = 6\). Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием \(2r\) и высотой \(h\). \[S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h = 6 \cdot 3 = 18\] Ответ: 18. Задача 5. Дано: \(S_{осн} = 9\), высота разделена в отношении 3:6 от вершины. Найти: \(S_{сеч}\). Решение: Высота всего конуса \(H = 3 + 6 = 9\). Высота отсеченного конуса \(h = 3\). Коэффициент подобия \(k = \frac{h}{H} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). Площади относятся как квадрат коэффициента подобия: \[\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\] \[S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1\] Ответ: 1. Задача 6. Дано: \(h = 28\), \(l = 35\). Найти: \(S_{ос}\). Решение: Найдем радиус \(r\): \[r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{35^2 - 28^2} = \sqrt{(35-28)(35+28)} = \sqrt{7 \cdot 63} = \sqrt{441} = 21\] Площадь осевого сечения: \[S_{ос} = r \cdot h = 21 \cdot 28 = 588\] Ответ: 588. Задача 7. Дано: \(d = 42\), \(l = 35\). Найти: \(S_{ос}\). Решение: Радиус \(r = \frac{d}{2} = 21\). Найдем высоту \(h\): \[h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{35^2 - 21^2} = \sqrt{(35-21)(35+21)} = \sqrt{14 \cdot 56} = \sqrt{784} = 28\] Площадь осевого сечения: \[S_{ос} = r \cdot h = 21 \cdot 28 = 588\] Ответ: 588. Задача 8. Дано: \(C = 3\), \(l = 2\). Найти: \(S_{бок}\). Решение: Длина окружности основания \(C = 2\pi r = 3\). Формула площади боковой поверхности: \(S_{бок} = \pi r l\). Заметим, что \(\pi r = \frac{C}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\). \[S_{бок} = 1,5 \cdot 2 = 3\] Ответ: 3. Задача 9. Дано: \(h = 20\), \(l = 25\). Найти: \(S_{полн} / \pi\). Решение: Найдем радиус \(r\): \[r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\] Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l) = \pi \cdot 15 \cdot (15 + 25) = \pi \cdot 15 \cdot 40 = 600\pi\] Значение, деленное на \(\pi\), равно 600. Ответ: 600. Задача 10. Дано: \(S_{полн} = 108\), сечение делит высоту пополам. Найти: \(S'_{полн}\). Решение: Так как сечение делит высоту пополам, коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\). Площади полных поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия: \[\frac{S'_{полн}}{S_{полн}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\] \[S'_{полн} = \frac{108}{4} = 27\] Ответ: 27.