Решение задач 11-23 из самостоятельной работы

Ниже представлены решения задач с 11 по 23 из самостоятельной работы, оформленные для записи в тетрадь. Задача 11. Дано: \(S_{бок} = \sqrt{2} S_{осн}\). Найти: \(\alpha\) (угол между образующей и плоскостью основания). Решение: Формулы площадей: \(S_{бок} = \pi r l\), \(S_{осн} = \pi r^2\). По условию: \(\pi r l = \sqrt{2} \pi r^2\), откуда \(l = \sqrt{2} r\). Косинус угла при основании: \(\cos \alpha = \frac{r}{l} = \frac{r}{\sqrt{2} r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, \(\alpha = 45^{\circ}\). Ответ: 45. Задача 12. Дано: \(r = 12\), \(h = 16\). Найти: \(S_{полн} / \pi\). Решение: Образующая \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\). \(S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 12^2 + \pi \cdot 12 \cdot 20 = 144\pi + 240\pi = 384\pi\). Ответ: 384. Задача 13. Дано: \(V = 16\), сечение через середину высоты. Найти: \(V_{м}\). Решение: Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\). Объемы относятся как куб коэффициента подобия: \[V_{м} = V \cdot k^3 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 16 \cdot \frac{1}{8} = 2\] Ответ: 2. Задача 14. Дано: \(l = 3\), \(\alpha = 30^{\circ}\). Найти: \(V / \pi\). Решение: Высота \(h = l \cdot \sin 30^{\circ} = 3 \cdot 0,5 = 1,5\). Радиус \(r = l \cdot \cos 30^{\circ} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,5\sqrt{3}\). Объем \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (1,5\sqrt{3})^2 \cdot 1,5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2,25 \cdot 3 \cdot 1,5 = 3,375\pi\). Ответ: 3,375. Задача 15. Дано: \(d = 66\), угол при вершине \(90^{\circ}\). Найти: \(V / \pi\). Решение: Радиус \(r = 33\). Так как угол при вершине осевого сечения \(90^{\circ}\), то высота \(h = r = 33\). \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 33^2 \cdot 33 = 11 \cdot 1089 \pi = 11979\pi\] Ответ: 11979. Задача 16. Дано: катет \(a = 15\). Найти: \(V / \pi\). Решение: При вращении получается конус, где \(r = 15\) и \(h = 15\). \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 15^2 \cdot 15 = 5 \cdot 225 \pi = 1125\pi\] Ответ: 1125. Задача 17. Дано: \(h = 3\), \(l = 6\). Найти: \(V / \pi\). Решение: \(r^2 = l^2 - h^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27\). \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 \cdot 3 = 27\pi\] Ответ: 27. Задача 18. Дано: \(V_{ж} = 54\), уровень \(\frac{1}{2} H\). Найти: сколько долить. Решение: Объем жидкости \(V_{ж} = \frac{1}{8} V_{сосуда}\) (так как \(k = 1/2, k^3 = 1/8\)). \(V_{сосуда} = 54 \cdot 8 = 432\). Нужно долить: \(432 - 54 = 378\). Ответ: 378. Задача 19. Дано: \(l = 13\), \(h = 12\), угол сектора \(90^{\circ}\). Найти: \(V / \pi\). Решение: \(r = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5\). Объем полного конуса \(V_{полн} = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 100\pi\). Часть конуса составляет \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\) от полного. \(V_{части} = \frac{1}{4} \cdot 100\pi = 25\pi\). Ответ: 25. Задача 20. Решение: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Если \(h\) уменьшить в 18,5 раза, объем уменьшится в 18,5 раза. Ответ: в 18,5 раза. Задача 21. Решение: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Если \(r\) увеличить в 2,5 раза, объем увеличится в \(2,5^2 = 6,25\) раза. Ответ: в 6,25 раза. Задача 22. Решение: \(S_{бок} = \pi r l\). При уменьшении \(r\) в 8 раз, \(l\) также уменьшится в 8 раз (т.к. фигура подобна). Площадь уменьшится в \(8^2 = 64\) раза. Ответ: в 64 раза. Задача 23. Решение: \(S_{бок} = \pi r l\). Если \(l\) увеличить в 36 раз (при подобии), площадь увеличится в \(36^2 = 1296\) раз. Если меняется только \(l\) без изменения \(r\), то в 36 раз. Обычно в таких задачах подразумевается подобие. Ответ: в 1296 раз (или в 36 раз, если \(r\) константа).