Вычисление производной функции в точке: примеры решений

Вычислите значение производной функции f в данных точках. 1. \( f(x) = 3x^2 + 6x \); точки \( x = -1, x = 3 \) Найдем производную: \[ f'(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6 \] Вычислим значения в точках: \[ f'(-1) = 6 \cdot (-1) + 6 = -6 + 6 = 0 \] \[ f'(3) = 6 \cdot 3 + 6 = 18 + 6 = 24 \] 2. \( f(x) = 5x - x^3 \); точки \( x = 1, x = -2 \) Найдем производную: \[ f'(x) = (5x - x^3)' = 5 - 3x^2 \] Вычислим значения в точках: \[ f'(1) = 5 - 3 \cdot 1^2 = 5 - 3 = 2 \] \[ f'(-2) = 5 - 3 \cdot (-2)^2 = 5 - 3 \cdot 4 = 5 - 12 = -7 \] 3. \( f(x) = 3x - 2\sqrt{x} \); точки \( x = 9, x = 16 \) Найдем производную: \[ f'(x) = (3x - 2\sqrt{x})' = 3 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Вычислим значения в точках: \[ f'(9) = 3 - \frac{1}{\sqrt{9}} = 3 - \frac{1}{3} = 2\frac{2}{3} \] \[ f'(16) = 3 - \frac{1}{\sqrt{16}} = 3 - \frac{1}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75 \] 4. \( f(x) = (2x + 1)(2 - 3x) \); точки \( x = 1, x = 0 \) Сначала раскроем скобки для удобства: \[ f(x) = 4x - 6x^2 + 2 - 3x = -6x^2 + x + 2 \] Найдем производную: \[ f'(x) = (-6x^2 + x + 2)' = -12x + 1 \] Вычислим значения в точках: \[ f'(1) = -12 \cdot 1 + 1 = -11 \] \[ f'(0) = -12 \cdot 0 + 1 = 1 \] 5. \( f(x) = \frac{2x+5}{3x-2} \); точки \( x = 1, x = -2 \) Используем формулу производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ f'(x) = \frac{(2x+5)'(3x-2) - (2x+5)(3x-2)'}{(3x-2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2(3x-2) - (2x+5) \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{6x - 4 - 6x - 15}{(3x-2)^2} = \frac{-19}{(3x-2)^2} \] Вычислим значения в точках: \[ f'(1) = \frac{-19}{(3 \cdot 1 - 2)^2} = \frac{-19}{1^2} = -19 \] \[ f'(-2) = \frac{-19}{(3 \cdot (-2) - 2)^2} = \frac{-19}{(-8)^2} = -\frac{19}{64} \]