Решение задач с комплексными числами

Ниже представлено продолжение решения задач с комплексными числами для записи в тетрадь. 6) Выполним умножение дробей, используя правило \( i^2 = -1 \): \[ \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}i\right)\left(\frac{1}{3} + \frac{4}{3}i\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}i - \frac{1}{3}i \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}i \cdot \frac{4}{3}i \] \[ = \frac{2}{9} + \frac{8}{9}i - \frac{1}{9}i - \frac{4}{9}i^2 = \frac{2}{9} + \frac{7}{9}i + \frac{4}{9} = \frac{6}{9} + \frac{7}{9}i = \frac{2}{3} + \frac{7}{9}i \] 7) Перемножим десятичные дроби: \[ (0,2 - 0,3i)(0,5 + 0,4i) = 0,2 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,4i - 0,3i \cdot 0,5 - 0,3i \cdot 0,4i \] \[ = 0,1 + 0,08i - 0,15i - 0,12i^2 = 0,1 - 0,07i + 0,12 = 0,22 - 0,07i \] 8) Для деления комплексных чисел умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( (1 - 3i) \): \[ \frac{3 - 2i}{1 + 3i} = \frac{(3 - 2i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} = \frac{3 - 9i - 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{3 - 11i - 6}{1 + 9} = \frac{-3 - 11i}{10} = -0,3 - 1,1i \] 9) Сначала упростим знаменатель, затем выполним деление: Знаменатель: \( (4 + i)(2 - 2i) = 8 - 8i + 2i - 2i^2 = 8 - 6i + 2 = 10 - 6i \) Выражение: \[ \frac{2 + 3i}{10 - 6i} = \frac{(2 + 3i)(10 + 6i)}{(10 - 6i)(10 + 6i)} = \frac{20 + 12i + 30i + 18i^2}{100 + 36} = \frac{20 + 42i - 18}{136} = \frac{2 + 42i}{136} \] Сократим на 2: \[ \frac{1 + 21i}{68} = \frac{1}{68} + \frac{21}{68}i \] 10) Упростим числитель и знаменатель отдельно: Числитель: \( (3 + 2i)(2 - i) = 6 - 3i + 4i - 2i^2 = 6 + i + 2 = 8 + i \) Знаменатель: \( (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i^2 = 2 + 5i - 3 = -1 + 5i \) Разделим результаты: \[ \frac{8 + i}{-1 + 5i} = \frac{(8 + i)(-1 - 5i)}{(-1 + 5i)(-1 - 5i)} = \frac{-8 - 40i - i - 5i^2}{1^2 + 5^2} = \frac{-8 - 41i + 5}{1 + 25} = \frac{-3 - 41i}{26} = -\frac{3}{26} - \frac{41}{26}i \]