Решение задачи 703: Доказать, что a_n = n^3 + 17n делится на 6

Задача №703. Докажите, что любой член последовательности \( (a_n) \) делится на 6. а) \( a_n = n^3 + 17n \) Доказательство: Преобразуем выражение, выделив произведение трех последовательных чисел, которое всегда делится на 6 (так как среди них есть хотя бы одно четное число и ровно одно число, кратное 3). \[ a_n = n^3 - n + n + 17n \] \[ a_n = (n^3 - n) + 18n \] \[ a_n = n(n^2 - 1) + 18n \] \[ a_n = (n-1)n(n+1) + 18n \] Рассмотрим полученные слагаемые: 1. Произведение \( (n-1)n(n+1) \) — это произведение трех последовательных целых чисел. Оно всегда делится на \( 2 \cdot 3 = 6 \). 2. Слагаемое \( 18n \) делится на 6, так как 18 кратно 6 (\( 18 = 6 \cdot 3 \)). Сумма двух чисел, кратных 6, также делится на 6. Следовательно, \( a_n \) делится на 6 для любого натурального \( n \). Что и требовалось доказать. б) \( a_n = n^3 + 35n \) Доказательство: Аналогично пункту (а), преобразуем выражение: \[ a_n = n^3 - n + n + 35n \] \[ a_n = (n^3 - n) + 36n \] \[ a_n = n(n^2 - 1) + 36n \] \[ a_n = (n-1)n(n+1) + 36n \] Рассмотрим полученные слагаемые: 1. Произведение \( (n-1)n(n+1) \) делится на 6 как произведение трех последовательных целых чисел. 2. Слагаемое \( 36n \) делится на 6, так как 36 кратно 6 (\( 36 = 6 \cdot 6 \)). Так как оба слагаемых делятся на 6, то и их сумма \( a_n \) делится на 6 для любого натурального \( n \). Что и требовалось доказать.