Решение контрольной работы по тригонометрии. Вариант 1

Контрольная работа по теме: «Основы тригонометрии. Тригонометрические функции» Вариант 1 №1. Раскрыть понятие: «Радианной меры угла» Радианная мера угла — это отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла, к радиусу этой окружности. Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Связь с градусами: \( 180^\circ = \pi \) рад. №2. Построить график: Для выполнения этого задания в тетради необходимо начертить координатные оси. А) \( y = \sin x \) — синусоида, проходит через (0,0), максимум \( 1 \) при \( x = \pi/2 \), минимум \( -1 \) при \( x = 3\pi/2 \). \( y = \text{tg } x \) — тангенсоида, имеет вертикальные асимптоты при \( x = \pi/2 + \pi n \). Б) \( y = \text{arctg } x \) — график, симметричный тангенсу относительно \( y=x \), ограничен по \( y \) линиями \( \pm \pi/2 \). \( y = \arccos x \) — убывающая функция, определена на \( [-1, 1] \), значения от \( 0 \) до \( \pi \). №3. А) Выразите в радианах: а) \( 10^\circ = 10 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{18} \) рад. б) \( 210^\circ = 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} \) рад. Б) Выразите в градусах: а) \( \frac{\pi}{15} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ \). б) \( \frac{7\pi}{9} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{9} = 7 \cdot 20^\circ = 140^\circ \). №4. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если: \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (II четверть, косинус отрицательный). 1) Находим \( \cos \alpha \): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \] Так как \( \alpha \) во II четверти, \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \). 2) Находим \( \text{tg } \alpha \): \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} = -2,4 \] 3) Находим \( \text{ctg } \alpha \): \[ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = -\frac{5}{12} \] №5. Вычислить: \( \sin 14^\circ \cos 31^\circ + \sin 31^\circ \cos 14^\circ \) Используем формулу синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \). \[ \sin 14^\circ \cos 31^\circ + \cos 14^\circ \sin 31^\circ = \sin(14^\circ + 31^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] №6. Найти значение каждой тригонометрической функцией в прямоугольном треугольнике. Дано: противолежащий катет для \( \alpha \) равен 24, прилежащий 7, гипотенуза 25. Для угла \( \alpha \): \[ \sin \alpha = \frac{24}{25} = 0,96 \] \[ \cos \alpha = \frac{7}{25} = 0,28 \] \[ \text{tg } \alpha = \frac{24}{7} \] \[ \text{ctg } \alpha = \frac{7}{24} \] №7. Объясните связь прямоугольного треугольника и тригонометрических функций. Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике определяются как отношения его сторон: - Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. - Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. - Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. - Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему. №8. Запишите основное тригонометрическое тождество. \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]