Контрольная работа №2. Вариант 1. Решение

Контрольная работа № 2. Вариант 1. 1. Вычислите: а) \( 3\sqrt[3]{8} + 4\sqrt[5]{-32} + \sqrt[4]{(-5)^4} \) Решение: \( 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) + |-5| = 6 - 8 + 5 = 3 \) Ответ: 3. б) \( \sqrt[3]{27 \cdot 0,008} \) Решение: \( \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{0,008} = 3 \cdot 0,2 = 0,6 \) Ответ: 0,6. в) \( \sqrt{\frac{1}{16}} + \sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} + \sqrt[4]{625} \) Решение: \( \frac{1}{4} + \sqrt[3]{-\frac{125}{64}} + 5 = 0,25 - \frac{5}{4} + 5 = 0,25 - 1,25 + 5 = 4 \) Ответ: 4. г) \( \sqrt[8]{5^9 \cdot 9^7} \cdot \sqrt[8]{5^7 \cdot 9} \) Решение: \( \sqrt[8]{5^9 \cdot 5^7 \cdot 9^7 \cdot 9} = \sqrt[8]{5^{16} \cdot 9^8} = 5^2 \cdot 9 = 25 \cdot 9 = 225 \) Ответ: 225. 2. Расположите числа в порядке убывания: \( \sqrt[5]{4}; \sqrt[4]{3}; \sqrt[20]{289} \). Приведем корни к общему показателю 20: \( \sqrt[5]{4} = \sqrt[20]{4^4} = \sqrt[20]{256} \) \( \sqrt[4]{3} = \sqrt[20]{3^5} = \sqrt[20]{243} \) \( \sqrt[20]{289} \) Сравним подкоренные выражения: \( 289 > 256 > 243 \). Следовательно: \( \sqrt[20]{289}; \sqrt[5]{4}; \sqrt[4]{3} \). 3. Постройте и прочитайте график функции: \( y = \sqrt[4]{x-4} + 5 \). 1) Область определения: \( x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \). 2) График получается из \( y = \sqrt[4]{x} \) сдвигом на 4 единицы вправо по оси OX и на 5 единиц вверх по оси OY. 3) Точки для построения: (4; 5), (5; 6), (20; 7). 4) Свойства: Область значений \( [5; +\infty) \), функция возрастает на всей области определения. 4. Упростите выражение: \( (3\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})(3\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}) + \sqrt[9]{5b^8} : \sqrt[9]{5b^5} \) Решение: 1) Применим формулу разности квадратов: \( (3\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = 9\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} \). 2) Выполним деление: \( \sqrt[9]{\frac{5b^8}{5b^5}} = \sqrt[9]{b^3} = \sqrt[3]{b} \). 3) Сложим результаты: \( 9\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b} = 9\sqrt[3]{a} \). Ответ: \( 9\sqrt[3]{a} \). 5. Решите уравнение: 1) \( \sqrt[3]{x+2} = 3 \) \( x + 2 = 3^3 \) \( x + 2 = 27 \) \( x = 25 \) Ответ: 25. 2) \( \sqrt{1-x} = x+1 \) Возведем в квадрат при условии \( x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \): \( 1 - x = (x+1)^2 \) \( 1 - x = x^2 + 2x + 1 \) \( x^2 + 3x = 0 \) \( x(x+3) = 0 \) \( x_1 = 0; x_2 = -3 \). Проверка условия \( x \ge -1 \): подходит только \( x = 0 \). Ответ: 0. 3) \( \sqrt{2x+5} - \sqrt{x+6} = 1 \) \( \sqrt{2x+5} = 1 + \sqrt{x+6} \) \( 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{x+6} + x + 6 \) \( x - 2 = 2\sqrt{x+6} \) Возведем в квадрат при \( x \ge 2 \): \( x^2 - 4x + 4 = 4(x+6) \) \( x^2 - 4x + 4 = 4x + 24 \) \( x^2 - 8x - 20 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 10, x_2 = -2 \). Условию \( x \ge 2 \) удовлетворяет только \( x = 10 \). Ответ: 10. 6. Вычислите значение выражения: \( \sqrt[5]{1024x^5} + \sqrt[4]{81x^4} - \sqrt{81x^2} \) при \( x = -0,1 \). Упростим выражение: \( 4x + |3x| - |9x| \) Так как \( x = -0,1 \) (отрицательное число), то \( |3x| = -3x \) и \( |9x| = -9x \). \( 4x + (-3x) - (-9x) = 4x - 3x + 9x = 10x \) Подставим \( x = -0,1 \): \( 10 \cdot (-0,1) = -1 \) Ответ: -1.