Решение задач по алгебре: Вариант 3

Вариант 3 1. Упростите: \(x^6 \cdot x^{-4}\) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[x^6 \cdot x^{-4} = x^{6 + (-4)} = x^2\] Ответ: A) \(x^2\) 2. Чему равно: \((5a^2)^2\) При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: \[(5a^2)^2 = 5^2 \cdot (a^2)^2 = 25a^4\] Ответ: B) \(25a^4\) 3. Упростите: \(\sqrt{50}\) Разложим число под корнем на множители, один из которых является полным квадратом: \[\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\] Ответ: A) \(5\sqrt{2}\) 4. Найдите значение: \(\log_4 16\) Логарифм — это степень, в которую нужно возвести основание 4, чтобы получить 16: \[4^2 = 16 \Rightarrow \log_4 16 = 2\] Ответ: A) 2 5. Упростите выражение: \(\log_2 32 - \log_2 8\) Используем свойство разности логарифмов (логарифм частного): \[\log_2 32 - \log_2 8 = \log_2 \frac{32}{8} = \log_2 4 = 2\] Ответ: A) 2 6. Упростите выражение: \(\frac{4x^5}{x^2}\) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \[\frac{4x^5}{x^2} = 4x^{5-2} = 4x^3\] Ответ: \(4x^3\) 7. Представьте в виде степени с основанием 2: \(\sqrt{2^8}\) Корень второй степени можно записать как степень с дробным показателем: \[\sqrt{2^8} = (2^8)^{\frac{1}{2}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4\] Ответ: \(2^4\) 8. Найдите \(x\): \(3^{x-1} = 27\) Приведем обе части уравнения к одному основанию: \[3^{x-1} = 3^3\] \[x - 1 = 3\] \[x = 4\] Ответ: \(x = 4\) 9. Упростите выражение: \(\log_5 125 - \log_5 5\) Вычислим каждое значение: \[\log_5 125 = 3 \text{ (так как } 5^3 = 125)\] \[\log_5 5 = 1 \text{ (так как } 5^1 = 5)\] \[3 - 1 = 2\] Ответ: 2 10. Найдите значение выражения: \(32^{\frac{2}{5}}\) Представим 32 как \(2^5\): \[(2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4\] Ответ: 4 11. Запишите свойство степени с нулевым показателем. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: \[a^0 = 1, \text{ где } a \neq 0\] 12. Запишите свойство корня из частного. Корень из частного равен частному корней из делимого и делителя: \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \text{ где } a \geq 0, b > 0\] 13. Дайте определение логарифма. Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\) (\(a > 0, a \neq 1\)) называется показатель степени, в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\). \[\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b\] 14. Запишите свойство логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания: \[\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b\]