Решение задачи по геометрии: Площади (Вариант 2)

Контрольная работа по теме «Площади» Вариант 2 Задача 1. Дано: \(a = 15\) см — сторона треугольника; \(h = a : 3\) — высота, проведенная к ней. Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: 1) Найдем высоту треугольника: \[h = 15 : 3 = 5 \text{ (см)}\] 2) Вычислим площадь треугольника по формуле \(S = \frac{1}{2}ah\): \[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 5 = \frac{75}{2} = 37,5 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 37,5 \(см^2\). Задача 2. Дано: \(h = 9\) см — высота трапеции; \(S = 63\) \(см^2\) — площадь трапеции; \(a - b = 4\) см — разность оснований. Найти: \(a, b\) — основания трапеции. Решение: 1) Используем формулу площади трапеции \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\). Подставим известные значения: \[63 = \frac{a + b}{2} \cdot 9\] \[\frac{a + b}{2} = 63 : 9\] \[\frac{a + b}{2} = 7\] \[a + b = 14\] 2) Составим систему уравнений: \[\begin{cases} a + b = 14 \\ a - b = 4 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[2a = 18 \Rightarrow a = 9 \text{ (см)}\] Найдем второе основание: \[b = 14 - 9 = 5 \text{ (см)}\] Ответ: 9 см и 5 см. Задача 3. Дано: \(S = 144\) \(см^2\) — площадь треугольника; \(h = \frac{1}{2}a\) — высота в 2 раза меньше стороны. Найти: \(a\) — сторону треугольника. Решение: 1) Подставим \(h = 0,5a\) в формулу площади \(S = \frac{1}{2}ah\): \[144 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 0,5a\] \[144 = 0,25a^2\] \[a^2 = 144 : 0,25\] \[a^2 = 576\] \[a = \sqrt{576} = 24 \text{ (см)}\] Ответ: 24 см. Задача 4. Дано: Трапеция \(ABCD\); \(AD = 27\) см, \(BC = 13\) см — основания; \(CD = 10\) см — боковая сторона; \(\angle D = 30^\circ\). Найти: \(S\) — площадь трапеции. Решение: 1) Проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). 2) В прямоугольном треугольнике \(CHD\) катет \(CH\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит он равен половине гипотенузы \(CD\): \[CH = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ (см)}\] 3) Вычислим площадь трапеции: \[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{27 + 13}{2} \cdot 5 = \frac{40}{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 100 \(см^2\). Задача 5. Дано: Параллелограмм; \(P = 50\) см — периметр; \(a = 12\) см — одна из сторон; \(\alpha = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\) — тупой угол. Найти: \(S\) — площадь параллелограмма. Решение: 1) Найдем вторую сторону \(b\): \[P = 2(a + b) \Rightarrow 50 = 2(12 + b)\] \[25 = 12 + b \Rightarrow b = 13 \text{ (см)}\] 2) Сумма соседних углов параллелограмма равна \(180^\circ\). Найдем острый угол: \[\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] 3) Вычислим площадь по формуле \(S = a \cdot b \cdot \sin(\beta)\): \[S = 12 \cdot 13 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 13 = 78 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 78 \(см^2\).