Решение задач: Практическое занятие №8. Логарифмы. Вариант 1

Практическое занятие № 8. Тема: Логарифмы. Вариант 1. Задание 1. Найдите значение выражения: \( \log_{2} 16 + \log_{2} 2 \) Решение: Используем свойство суммы логарифмов: \( \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c) \) \[ \log_{2} 16 + \log_{2} 2 = \log_{2} (16 \cdot 2) = \log_{2} 32 \] Так как \( 2^5 = 32 \), то \( \log_{2} 32 = 5 \). Ответ: 2) 5. Задание 2. Найдите значение выражения: \( \log_{12} 36 + \log_{12} 4 \) Решение: \[ \log_{12} 36 + \log_{12} 4 = \log_{12} (36 \cdot 4) = \log_{12} 144 \] Так как \( 12^2 = 144 \), то \( \log_{12} 144 = 2 \). Ответ: 1) 2. Задание 3. Найдите значение выражения: \( \log_{2} 7 - \log_{2} \frac{7}{16} \) Решение: Используем свойство разности логарифмов: \( \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} \) \[ \log_{2} 7 - \log_{2} \frac{7}{16} = \log_{2} (7 : \frac{7}{16}) = \log_{2} (7 \cdot \frac{16}{7}) = \log_{2} 16 \] Так как \( 2^4 = 16 \), то \( \log_{2} 16 = 4 \). Ответ: 2) 4. Задание 4. Найдите значение выражения: \( 4^{2 \log_{4} 3} \) Решение: Используем свойство \( n \log_{a} b = \log_{a} b^n \) и основное логарифмическое тождество \( a^{\log_{a} b} = b \): \[ 4^{2 \log_{4} 3} = 4^{\log_{4} 3^2} = 4^{\log_{4} 9} = 9 \] Ответ: 1) 9. Задание 5. Найдите значение выражения: \( (1/2)^{4 \log_{1/2} 3} \) Решение: Аналогично предыдущему заданию: \[ (1/2)^{4 \log_{1/2} 3} = (1/2)^{\log_{1/2} 3^4} = (1/2)^{\log_{1/2} 81} = 81 \] Ответ: 2) 81. Задание 6. Найдите значение выражения: \( \log_{0,3} 9 - 2 \log_{0,3} 10 \) Решение: \[ \log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 10^2 = \log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 = \log_{0,3} \frac{9}{100} = \log_{0,3} 0,09 \] Так как \( 0,3^2 = 0,09 \), то \( \log_{0,3} 0,09 = 2 \). Ответ: 1) 2. Задание 7. Найдите значение выражения: \( \log_{12} \frac{9}{144} - \log_{12} 9 \) Решение: \[ \log_{12} (\frac{9}{144} : 9) = \log_{12} (\frac{9}{144 \cdot 9}) = \log_{12} \frac{1}{144} = \log_{12} 12^{-2} = -2 \] Ответ: 3) -2. Задание 8. Определить верное равенство: Проверим вариант 4): \( \log_{2} 16^2 = \log_{2} (2^4)^2 = \log_{2} 2^8 = 8 \). Это верно. Ответ: 4) \( \log_{2} 16^2 = 8 \). Задание 9. Определить верное равенство: Проверим вариант 2): \( 3 \log_{2} 3 = \log_{2} 3^3 = \log_{2} 27 \). Это верно. Ответ: 2) \( 3 \log_{2} 3 = \log_{2} 27 \). Задание 10. Найдите значение выражения: \( \log_{3} 6 + \log_{1/3} 2 \) Решение: Приведем к одному основанию, используя \( \log_{1/a} b = -\log_{a} b \): \[ \log_{3} 6 - \log_{3} 2 = \log_{3} \frac{6}{2} = \log_{3} 3 = 1 \] Ответ: 3) 1.