Решение задачи Т3.9: Велосипедист и Мотоциклист

Задача Т3.9. Пусть \( v_1 \) — скорость велосипедиста (км/ч), а \( v_2 \) — скорость мотоциклиста (км/ч). Длина трассы \( S = 30 \) км. 1) Рассмотрим первую встречу. Велосипедист был в пути \( 24 + 12 = 36 \) минут, что составляет \( \frac{36}{60} = 0,6 \) часа. Мотоциклист был в пути \( 12 \) минут, что составляет \( \frac{12}{60} = 0,2 \) часа. Так как в момент встречи они проехали одинаковое расстояние от точки старта: \[ 0,6 v_1 = 0,2 v_2 \] Отсюда получаем: \[ v_2 = 3 v_1 \] 2) Рассмотрим вторую встречу. Между первой и второй встречами прошло \( 36 \) минут, что составляет \( \frac{36}{60} = 0,6 \) часа. За это время мотоциклист проехал на один полный круг больше, чем велосипедист. \[ 0,6 v_2 - 0,6 v_1 = 30 \] Разделим уравнение на 0,6: \[ v_2 - v_1 = 50 \] 3) Подставим \( v_2 = 3 v_1 \) во второе уравнение: \[ 3 v_1 - v_1 = 50 \] \[ 2 v_1 = 50 \] \[ v_1 = 25 \] Ответ: 25 км/ч. Задача Т3.10. Пусть \( v \) — скорость первого бегуна (км/ч), тогда \( v + 3 \) — скорость второго бегуна (км/ч). Пусть \( L \) — длина круговой трассы (км). 1) Спустя 1 час первому бегуну оставалось 2 км до конца круга. Значит, за 1 час он пробежал \( L - 2 \) км. \[ v \cdot 1 = L - 2 \implies L = v + 2 \] 2) Второй бегун прошел первый круг 4 минуты назад. То есть он прошел дистанцию \( L \) за \( 60 - 4 = 56 \) минут. Переведем время в часы: \( \frac{56}{60} = \frac{14}{15} \) часа. Уравнение для второго бегуна: \[ (v + 3) \cdot \frac{14}{15} = L \] 3) Подставим \( L = v + 2 \) в уравнение: \[ \frac{14}{15}(v + 3) = v + 2 \] Умножим обе части на 15: \[ 14(v + 3) = 15(v + 2) \] \[ 14v + 42 = 15v + 30 \] \[ 42 - 30 = 15v - 14v \] \[ v = 12 \] 4) Найдем скорость второго бегуна: \[ v + 3 = 12 + 3 = 15 \] Ответ: 15 км/ч.