Решение задач: Расстояние от точки до плоскости в кубе

Задача №1. Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — единичный куб. Найти: расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADD_1\). Решение: 1. Плоскость \(ADD_1\) совпадает с плоскостью грани \(ADD_1A_1\). 2. Ребро \(AB\) перпендикулярно грани \(ADD_1A_1\), так как в кубе смежные грани перпендикулярны, а ребро, выходящее из вершины, перпендикулярно плоскости грани, не содержащей это ребро. 3. Следовательно, длиной перпендикуляра, опущенного из точки \(B\) на плоскость \(ADD_1\), является длина ребра \(AB\). 4. Так как куб единичный, то \(AB = 1\). Ответ: 1. Задача №2. Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб, ребро \(a = \sqrt{2}\). Найти: расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ACC_1\). Решение: 1. Плоскость \(ACC_1\) проходит через диагональ основания \(AC\) и вертикальное ребро \(CC_1\). Это диагональное сечение куба. 2. Расстоянием от точки \(B\) до плоскости \(ACC_1\) будет перпендикуляр, опущенный из \(B\) на прямую \(AC\) (так как плоскость \(ACC_1\) перпендикулярна плоскости основания \(ABC\)). 3. В квадрате \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны и точкой пересечения \(O\) делятся пополам. Значит, искомое расстояние равно половине диагонали \(BD\). 4. Длина диагонали квадрата со стороной \(a\) вычисляется по формуле: \[d = a\sqrt{2}\] 5. Подставим значение ребра \(a = \sqrt{2}\): \[BD = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\] 6. Искомое расстояние \(h = \frac{1}{2} BD\): \[h = \frac{2}{2} = 1\] Ответ: 1. Задача №3. Дано: \(ABCD\) — единичный тетраэдр (все ребра равны 1), \(E\) — середина \(CD\). Найти: расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABE\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(CED\). Точка \(E\) — середина \(CD\). 2. Плоскость \(ABE\) делит тетраэдр на две части. Заметим, что прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABE\) в точке \(E\). 3. Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABE\) равно расстоянию от точки \(C\) до этой же плоскости, так как \(E\) — середина отрезка \(CD\). 4. Проведем высоту тетраэдра \(DH\) из вершины \(D\) на плоскость \(ABC\). Но удобнее рассмотреть сечение \(CDE\). 5. В правильном тетраэдре медианы \(AE\) и \(BE\) треугольников \(ACD\) и \(BCD\) являются также их высотами. \[AE = BE = \frac{\sqrt{3}}{2}\] 6. В треугольнике \(CDE\) отрезок \(DE = \frac{1}{2}\). Искомое расстояние \(h\) — это высота треугольника \(BDE\), опущенная из \(D\) на \(BE\), но так как плоскость \(ABE\) симметрична, найдем высоту из точки \(D\) на плоскость \(ABE\). 7. Проще всего заметить, что \(CD \perp AB\) (скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра перпендикулярны). Плоскость \(ABE\) содержит \(AB\). 8. В треугольнике \(CDE\) (который является частью медиального сечения) искомое расстояние \(h\) есть высота прямоугольного треугольника \(DOE\) (где \(O\) — центр основания), но для школьного уровня проще: Высота тетраэдра \(H = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Точка \(E\) находится на половине высоты грани. Расстояние от \(D\) до плоскости \(ABE\) равно: \[h = \frac{1}{\sqrt{6}}\] После избавления от иррациональности: \[h = \frac{\sqrt{6}}{6}\] Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{6}\).