Решение задачи: Испытания Бернулли

Домашнее задание по теме: Испытания Бернулли 1 вариант Задача 1. Дано: \( n = 6 \) (количество испытаний) \( p = 1/3 \) (вероятность успеха) \( q = 1 - p = 2/3 \) (вероятность неудачи) Событие: (У, У, Н, Н, Н, Н) — сначала 2 успеха, затем 4 неудачи. Решение: Так как испытания независимы, вероятность конкретной последовательности равна произведению вероятностей каждого исхода: \[ P = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4 \] Подставим значения: \[ P = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{16}{729} \] Ответ: \( \frac{16}{729} \). Задача 2. Дано: \( n = 10 \) (количество испытаний) \( k = 4 \) (количество успехов) Решение: Количество элементарных событий, содержащих ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях, равно числу сочетаний из \( n \) по \( k \): \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 \] Ответ: 210. Задача 3. Дано: \( n = 10 \) \( k = 6 \) \( p = 0,5 \) (вероятность выпадения орла) \( q = 0,5 \) Решение: Используем формулу Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] \[ P_{10}(6) = C_{10}^6 \cdot (0,5)^6 \cdot (0,5)^4 = C_{10}^4 \cdot (0,5)^{10} \] Ранее мы вычислили, что \( C_{10}^4 = 210 \). \[ P_{10}(6) = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512} \approx 0,205 \] Ответ: \( \frac{105}{512} \) (или примерно 0,205). Задача 4. Дано: \( n = 5 \) \( p = 0,4 \) \( q = 0,6 \) Найти вероятность, что попаданий \( k \ge 2 \). Решение: Проще найти вероятность противоположного события (попаданий меньше 2, то есть 0 или 1) и вычесть её из единицы: \[ P(k \ge 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1)) \] Вычислим вероятности: \[ P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0,6)^5 = 0,07776 \] \[ P_5(1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^4 = 5 \cdot 0,4 \cdot (0,6)^4 = 2 \cdot 0,1296 = 0,2592 \] Сумма вероятностей: \[ P(k < 2) = 0,07776 + 0,2592 = 0,33696 \] Искомая вероятность: \[ P(k \ge 2) = 1 - 0,33696 = 0,66304 \] Ответ: 0,66304.