Решение задач по теории вероятностей: формула Бернулли

Задача 1. Дано: \( n = 8 \) (количество бросков) \( k = 3 \) (количество выпадений герба) \( p = 0,5 \) (вероятность выпадения герба при одном броске) \( q = 1 - p = 0,5 \) (вероятность выпадения решки) Решение: Используем формулу Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] \[ C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \] \[ P_8(3) = 56 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^5 = 56 \cdot (0,5)^8 = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256} = 0,21875 \] Ответ: 0,21875. Задача 2. Дано: \( n = 6 \) (всего детей) \( k = 2 \) (количество мальчиков) \( p = 0,51 \) (вероятность рождения мальчика) \( q = 1 - 0,51 = 0,49 \) (вероятность рождения девочки) Решение: По формуле Бернулли: \[ P_6(2) = C_6^2 \cdot p^2 \cdot q^4 \] \[ C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] \[ P_6(2) = 15 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^4 \approx 15 \cdot 0,2601 \cdot 0,0576 \approx 0,2249 \] Ответ: \(\approx 0,2249\). Задача 3. Дано: \( n = 12 \) \( k = 8 \) \( p = 0,4 \) \( q = 0,6 \) Решение: \[ P_{12}(8) = C_{12}^8 \cdot (0,4)^8 \cdot (0,6)^4 \] \[ C_{12}^8 = C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \] \[ P_{12}(8) = 495 \cdot 0,00065536 \cdot 0,1296 \approx 0,042 \] Ответ: \(\approx 0,042\). Задача 4. Дано: \( n = 6 \) \( k = 6 \) \( p = 0,8 \) Решение: Так как должны быть включены все моторы, это событие представляет собой произведение независимых вероятностей: \[ P = p^n = (0,8)^6 \] \[ P = 0,262144 \] Ответ: 0,262144. Задача 5. Дано: \( n = 9 \) \( k = 5 \) \( p = 0,2 \) \( q = 0,8 \) Решение: \[ P_9(5) = C_9^5 \cdot (0,2)^5 \cdot (0,8)^4 \] \[ C_9^5 = C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \] \[ P_9(5) = 126 \cdot 0,00032 \cdot 0,4096 \approx 0,0165 \] Ответ: \(\approx 0,0165\).