Решение неопределенных интегралов: примеры оформления

Ниже представлены решения задач по теме Неопределенный интеграл, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int (x^5 + 2x^4 - x^3 + 3) dx \] Решение: Используем свойство линейности интеграла и табличную формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). \[ \int (x^5 + 2x^4 - x^3 + 3) dx = \frac{x^6}{6} + 2 \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + 3x + C = \frac{x^6}{6} + \frac{2x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + 3x + C \] Задание 3. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3} \right) dx \] Решение: Перепишем степени в удобном виде: \[ \int (2x^{-1} + 3x^{-2} - 4x^{-3}) dx = 2 \ln|x| + 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + C \] Задание 5. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int \frac{2x^4 - 4x^3 + x + 5}{3x} dx \] Решение: Разделим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель: \[ \int \left( \frac{2x^4}{3x} - \frac{4x^3}{3x} + \frac{x}{3x} + \frac{5}{3x} \right) dx = \int \left( \frac{2}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{1}{3} + \frac{5}{3x} \right) dx \] \[ = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \ln|x| + C = \frac{x^4}{6} - \frac{4x^3}{9} + \frac{x}{3} + \frac{5}{3} \ln|x| + C \] Задание 7. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int \left( \frac{x+4}{\sqrt[3]{x}} + \frac{2-x}{\sqrt{x}} \right) dx \] Решение: Представим корни в виде степеней и разделим почленно: \[ \int (x^{1 - 1/3} + 4x^{-1/3} + 2x^{-1/2} - x^{1 - 1/2}) dx = \int (x^{2/3} + 4x^{-1/3} + 2x^{-1/2} - x^{1/2}) dx \] \[ = \frac{x^{5/3}}{5/3} + 4 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} + 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{3\sqrt[3]{x^5}}{5} + 6\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt{x} - \frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C \] Задание 9. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int \frac{x^4 + x^3 + x - 3}{x^2 + 1} dx \] Решение: Разделим многочлен на многочлен "уголком" или сгруппируем: \[ \frac{x^4 + x^3 + x - 3}{x^2 + 1} = \frac{x^2(x^2+1) - x^2 + x^3 + x - 3}{x^2+1} = x^2 + x + \frac{-x^2-3}{x^2+1} = x^2 + x - \frac{x^2+1+2}{x^2+1} = x^2 + x - 1 - \frac{2}{x^2+1} \] \[ \int (x^2 + x - 1 - \frac{2}{x^2+1}) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x - 2 \text{arctg}(x) + C \] Задание 11. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int (5 \sin x + 2 \cos x) dx \] Решение: Используем табличные интегралы тригонометрических функций: \[ \int (5 \sin x + 2 \cos x) dx = -5 \cos x + 2 \sin x + C \] Задание 13. Найдите неопределенный интеграл: \[ \int (3e^x - \sin x) dx \] Решение: \[ \int (3e^x - \sin x) dx = 3e^x - (-\cos x) + C = 3e^x + \cos x + C \]