Решение Варианта II: Упрощение алгебраических выражений

Ниже представлено решение заданий Варианта II с доски. Оформление выполнено максимально удобно для переписывания в школьную тетрадь. Вариант II Задание 1. Упростить выражение: а) \(\frac{a^2 - 3ab}{5} \cdot \frac{a^2}{10b} + \frac{6b^2}{a}\) Решение: Сначала выполним умножение дробей: \[ \frac{a(a - 3b)}{5} \cdot \frac{a^2}{10b} + \frac{6b^2}{a} = \frac{a^3(a - 3b)}{50b} + \frac{6b^2}{a} \] Приведем к общему знаменателю \(50ab\): \[ \frac{a^4(a - 3b) + 300b^3}{50ab} = \frac{a^5 - 3a^4b + 300b^3}{50ab} \] б) \(\frac{x^2 - 25}{x + 6} \cdot \frac{1}{x^2 + 5x} - \frac{x + 5}{x^2 - 6x}\) Решение: Разложим на множители и упростим первое произведение: \[ \frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 6} \cdot \frac{1}{x(x + 5)} - \frac{x + 5}{x(x - 6)} = \frac{x - 5}{x(x + 6)} - \frac{x + 5}{x(x - 6)} \] Приведем к общему знаменателю \(x(x + 6)(x - 6)\): \[ \frac{(x - 5)(x - 6) - (x + 5)(x + 6)}{x(x^2 - 36)} = \frac{(x^2 - 11x + 30) - (x^2 + 11x + 30)}{x(x^2 - 36)} \] \[ \frac{x^2 - 11x + 30 - x^2 - 11x - 30}{x(x^2 - 36)} = \frac{-22x}{x(x^2 - 36)} = -\frac{22}{x^2 - 36} = \frac{22}{36 - x^2} \] Задание 2. Найти значение выражения: \(\frac{x + 3}{x^2 + 9} \cdot \left( \frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} \right)\) при \(x = 1,75\) Решение: 1) Упростим выражение в скобках: \[ \frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2 + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9} = \frac{2(x^2 + 9)}{x^2 - 9} \] 2) Выполним умножение: \[ \frac{x + 3}{x^2 + 9} \cdot \frac{2(x^2 + 9)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2(x + 3)(x^2 + 9)}{(x^2 + 9)(x - 3)(x + 3)} = \frac{2}{x - 3} \] 3) Подставим \(x = 1,75\): \[ \frac{2}{1,75 - 3} = \frac{2}{-1,25} = -\frac{200}{125} = -1,6 \] Ответ: -1,6.