Нахождение уравнения медианы CD треугольника ABC

3. Аналитическая геометрия 3.1. Найти уравнение медианы CD треугольника ABC, если вершины имеют координаты: A(1; -9), B(7; -1), C(2; 8). Решение: Медиана CD проведена к стороне AB, значит точка D является серединой отрезка AB. Найдем координаты точки D по формулам середины отрезка: \[ x_D = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \] \[ y_D = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-9 + (-1)}{2} = -5 \] Получаем точку D(4; -5). Составим уравнение прямой, проходящей через точки C(2; 8) и D(4; -5) по формуле: \[ \frac{x - x_C}{x_D - x_C} = \frac{y - y_C}{y_D - y_C} \] \[ \frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 8}{-5 - 8} \] \[ \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 8}{-13} \] Перемножим крест-накрест: \[ -13(x - 2) = 2(y - 8) \] \[ -13x + 26 = 2y - 16 \] \[ 13x + 2y - 42 = 0 \] Ответ: \( 13x + 2y - 42 = 0 \). 3.2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(12; 0), перпендикулярно прямой 5x + y + 3 = 0. Решение: Выразим y из уравнения данной прямой: \( y = -5x - 3 \). Угловой коэффициент этой прямой \( k_1 = -5 \). Условие перпендикулярности прямых: \( k_1 \cdot k_2 = -1 \). Отсюда угловой коэффициент искомой прямой: \[ k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-5} = \frac{1}{5} \] Составим уравнение прямой через точку A(12; 0) с коэффициентом \( k = 0,2 \): \[ y - y_A = k(x - x_A) \] \[ y - 0 = \frac{1}{5}(x - 12) \] \[ 5y = x - 12 \] \[ x - 5y - 12 = 0 \] Ответ: \( x - 5y - 12 = 0 \). 3.3. Указать уравнение окружности, которая проходит через точку A(11; 6) с центром в точке C(-1; 1). Решение: Радиус окружности R равен расстоянию между центром C и точкой A на окружности: \[ R^2 = (x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 \] \[ R^2 = (11 - (-1))^2 + (6 - 1)^2 \] \[ R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \] Уравнение окружности с центром в точке (a; b) имеет вид: \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \). Подставляем координаты центра C(-1; 1) и \( R^2 = 169 \): \[ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 169 \] Ответ: \( (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 169 \). 3.4. Найти радиус окружности \( x^2 - 8x + y^2 + 4y - 5 = 0 \). Решение: Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты по x и по y: \[ (x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 4y + 4) - 4 - 5 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 25 \] Из канонического уравнения окружности видно, что \( R^2 = 25 \). Следовательно, радиус: \[ R = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: 5.