Решение задачи №1 Контрольная работа №3 Вариант 2

Контрольная работа №3. Вариант 2. №1. Решение: 1) Найдем коэффициент \(k\) для функции \(f(x) = \frac{k}{x}\). По графику гипербола проходит через точку с координатами \((1; -2)\). Подставим координаты: \[-2 = \frac{k}{1} \Rightarrow k = -2\] Следовательно, \(f(x) = -\frac{2}{x}\). 2) Найдем коэффициенты \(a\) и \(b\) для прямой \(g(x) = ax + b\). Прямая проходит через точки \((0; -3)\) и \((2; -4)\). Из точки \((0; -3)\) получаем: \(b = -3\). Из точки \((2; -4)\) получаем: \[-4 = a \cdot 2 - 3\] \[2a = -1 \Rightarrow a = -0,5\] Следовательно, \(g(x) = -0,5x - 3\). 3) Найдем точки пересечения, приравняв функции: \[-\frac{2}{x} = -0,5x - 3\] Умножим на \(-2x\) (при \(x \neq 0\)): \[4 = x^2 + 6x\] \[x^2 + 6x - 4 = 0\] По графику видно, что точка \(A\) имеет абсциссу \(x_A \approx 0,6\). Нам нужно найти ординату второй точки \(B\). Решим уравнение через дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52\] \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}\] Точка \(B\) находится слева, ее абсцисса \(x_B = -3 - \sqrt{13}\). Найдем ординату \(y_B\), подставив \(x_B\) в \(f(x)\): \[y_B = \frac{-2}{-3 - \sqrt{13}} = \frac{2}{3 + \sqrt{13}}\] Избавимся от иррациональности: \[y_B = \frac{2(3 - \sqrt{13})}{(3 + \sqrt{13})(3 - \sqrt{13})} = \frac{2(3 - \sqrt{13})}{9 - 13} = \frac{2(3 - \sqrt{13})}{-4} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}\] Ответ: \(\frac{\sqrt{13} - 3}{2}\). №2. Решение: \[\log_{81} 3^{2x+6} = 4\] По определению логарифма: \[3^{2x+6} = 81^4\] Так как \(81 = 3^4\), то: \[3^{2x+6} = (3^4)^4\] \[3^{2x+6} = 3^{16}\] Приравняем показатели: \[2x + 6 = 16\] \[2x = 10\] \[x = 5\] Ответ: 5. №3. Решение: \[\left(\frac{3}{8}\right)^{\frac{20}{x}} = \left(\frac{27}{512}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^x\] Приведем все к основанию \(\frac{3}{8}\). Заметим, что \(\frac{27}{512} = \left(\frac{3}{8}\right)^3\), а \(\frac{8}{3} = \left(\frac{3}{8}\right)^{-1}\). \[\left(\frac{3}{8}\right)^{\frac{20}{x}} = \left(\left(\frac{3}{8}\right)^3\right)^3 \cdot \left(\left(\frac{3}{8}\right)^{-1}\right)^x\] \[\left(\frac{3}{8}\right)^{\frac{20}{x}} = \left(\frac{3}{8}\right)^9 \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^{-x}\] \[\left(\frac{3}{8}\right)^{\frac{20}{x}} = \left(\frac{3}{8}\right)^{9-x}\] Приравняем показатели: \[\frac{20}{x} = 9 - x\] Умножим на \(x\) (при \(x \neq 0\)): \[20 = 9x - x^2\] \[x^2 - 9x + 20 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 4, x_2 = 5\] Ответ: 4; 5. №4. Решение: \[\sqrt{x^2 - 4x - 5} > 2x - 10\] Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: 1) Если правая часть отрицательна: \[\begin{cases} 2x - 10 < 0 \\ x^2 - 4x - 5 \geq 0 \end{cases}\] \[\begin{cases} x < 5 \\ (x-5)(x+1) \geq 0 \end{cases}\] Решение второй строки: \(x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)\). С учетом \(x < 5\), получаем: \(x \in (-\infty; -1]\). 2) Если правая часть неотрицательна: \[\begin{cases} 2x - 10 \geq 0 \\ x^2 - 4x - 5 > (2x - 10)^2 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \geq 5 \\ x^2 - 4x - 5 > 4x^2 - 40x + 100 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \geq 5 \\ 3x^2 - 36x + 105 < 0 \end{cases}\] Разделим второе неравенство на 3: \[x^2 - 12x + 35 < 0\] Корни уравнения \(x^2 - 12x + 35 = 0\) это \(x=5\) и \(x=7\). Решение: \(5 < x < 7\). С учетом \(x \geq 5\), получаем: \(x \in [5; 7)\). Объединяя результаты двух систем: \[x \in (-\infty; -1] \cup [5; 7)\] Ответ: \((-\infty; -1] \cup [5; 7)\).