Решение логарифмических уравнений: Задания 3 и 4

Ниже представлено решение задач из вашего задания в удобном для переписывания виде. Задание 3. Решите уравнение: в) \(\log_{5}(2x - 1) = 2\) Решение: По определению логарифма: \[2x - 1 = 5^2\] \[2x - 1 = 25\] \[2x = 25 + 1\] \[2x = 26\] \[x = 13\] Проверка: \(2 \cdot 13 - 1 = 25 > 0\) (условие \(2x - 1 > 0\) выполняется). Ответ: \(13\). г) \(\log_{3}(x + 5) = \log_{3}(2x + 1)\) Решение: Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы при условии их положительности: \[x + 5 = 2x + 1\] \[x - 2x = 1 - 5\] \[-x = -4\] \[x = 4\] Проверка ОДЗ: \(4 + 5 = 9 > 0\) \(2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0\) Условия выполняются. Ответ: \(4\). Задание 4. Сравните числа: Для решения используем свойство: если основание логарифма \(a > 1\), то функция возрастает (большему аргументу соответствует большее значение). Если \(0 < a < 1\), то функция убывает (большему аргументу соответствует меньшее значение). а) \(\log_{0,3} 0,15\) и \(\log_{0,3} 0,2\) Основание \(a = 0,3\). Так как \(0 < 0,3 < 1\), функция убывает. Сравним аргументы: \(0,15 < 0,2\). Следовательно: \(\log_{0,3} 0,15 > \log_{0,3} 0,2\). б) \(\lg \sqrt{7}\) и \(\lg 2,7\) Основание \(a = 10\). Так как \(10 > 1\), функция возрастает. Сравним аргументы: \(\sqrt{7} \approx 2,64\). Так как \(2,64 < 2,7\), то \(\sqrt{7} < 2,7\). Следовательно: \(\lg \sqrt{7} < \lg 2,7\). в) \(\log_{0,5} \frac{3}{4}\) и \(\log_{0,5} \frac{4}{5}\) Основание \(a = 0,5\). Так как \(0 < 0,5 < 1\), функция убывает. Сравним аргументы: \(\frac{3}{4} = 0,75\), а \(\frac{4}{5} = 0,8\). Так как \(0,75 < 0,8\), то при убывающей функции значение логарифма будет больше там, где аргумент меньше. Следовательно: \(\log_{0,5} \frac{3}{4} > \log_{0,5} \frac{4}{5}\).