Решение логарифмического уравнения: Задание 3 (а и б)

Ниже представлено решение оставшихся пунктов задания 3 (а и б) в удобном для тетради виде. Задание 3. Решите уравнение: а) \(\lg x - \lg 12 = \log_{0,1}(x + 1) - \log_{100} 4\) Решение: 1. Определим ОДЗ: \(x > 0\) и \(x + 1 > 0\), значит \(x > 0\). 2. Приведем все логарифмы к основанию 10: \(\log_{0,1}(x + 1) = \log_{10^{-1}}(x + 1) = -\lg(x + 1)\) \(\log_{100} 4 = \log_{10^2} 2^2 = \frac{2}{2} \lg 2 = \lg 2\) 3. Подставим в уравнение: \[\lg x - \lg 12 = -\lg(x + 1) - \lg 2\] \[\lg x + \lg(x + 1) = \lg 12 - \lg 2\] \[\lg(x(x + 1)) = \lg\left(\frac{12}{2}\right)\] \[x^2 + x = 6\] \[x^2 + x - 6 = 0\] 4. По теореме Виета: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\). 5. Проверка по ОДЗ: \(x = -3\) не подходит (\(-3 < 0\)). Подходит только \(x = 2\). Ответ: \(2\). б) \(\log_{3}^2(x - 1) - 2\log_{\frac{1}{3}} \frac{9}{x - 1} = 2^{\log_{2} 7}\) Решение: 1. ОДЗ: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). 2. Упростим правую часть: \(2^{\log_{2} 7} = 7\). 3. Преобразуем второй логарифм: \(-2\log_{3^{-1}} \frac{9}{x - 1} = -2 \cdot (-1) \log_{3} \frac{9}{x - 1} = 2(\log_{3} 9 - \log_{3}(x - 1)) = 2(2 - \log_{3}(x - 1)) = 4 - 2\log_{3}(x - 1)\). 4. Уравнение принимает вид: \[\log_{3}^2(x - 1) + 4 - 2\log_{3}(x - 1) = 7\] \[\log_{3}^2(x - 1) - 2\log_{3}(x - 1) - 3 = 0\] 5. Пусть \(t = \log_{3}(x - 1)\): \[t^2 - 2t - 3 = 0\] По теореме Виета: \(t_1 = 3\), \(t_2 = -1\). 6. Обратная замена: 1) \(\log_{3}(x - 1) = 3 \Rightarrow x - 1 = 3^3 \Rightarrow x - 1 = 27 \Rightarrow x = 28\) 2) \(\log_{3}(x - 1) = -1 \Rightarrow x - 1 = 3^{-1} \Rightarrow x - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1\frac{1}{3}\) Оба корня удовлетворяют ОДЗ (\(x > 1\)). Ответ: \(1\frac{1}{3}; 28\).