Решение неопределенных интегралов: примеры и объяснения

Решение задач по теме Неопределенный интеграл. № 6. 1) Вычислим интеграл: \[ \int \frac{5 dy}{\cos^2 y} \] Вынесем константу за знак интеграла: \[ 5 \int \frac{dy}{\cos^2 y} \] Используем табличную формулу \( \int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C \): \[ 5 \tan y + C \] Ответ: \( 5 \tan y + C \). № 7. 1) Вычислим интеграл: \[ \int \frac{dx}{x^2 - 4} \] Это табличный интеграл вида \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C \). В нашем случае \( a^2 = 4 \), значит \( a = 2 \): \[ \int \frac{dx}{x^2 - 2^2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C \] Ответ: \( \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C \). 2) Вычислим интеграл: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}} \] Это табличный интеграл вида «длинный логарифм» \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + k}} = \ln |x + \sqrt{x^2 + k}| + C \). В нашем случае \( k = 4 \): \[ \ln |x + \sqrt{x^2 + 4}| + C \] Ответ: \( \ln |x + \sqrt{x^2 + 4}| + C \).