Решение задач из тренировочной работы по математике (профиль)

Ниже представлены решения задач из тренировочной работы по математике (профильный уровень), оформленные для записи в тетрадь. Задание 1 Условие: \(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности. Угол \(ACB = 67^\circ\). Найти угол \(AOD\). Решение: 1) Рассмотрим треугольник \(BOC\). Так как \(OC\) и \(OB\) — радиусы, треугольник \(BOC\) равнобедренный. 2) Углы при основании равны: \(\angle OBC = \angle OCB = 67^\circ\). 3) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит \(\angle BOC = 180^\circ - (67^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ\). 4) Углы \(AOD\) и \(BOC\) являются вертикальными, следовательно, они равны. \[ \angle AOD = \angle BOC = 46^\circ \] Ответ: 46 Задание 2 Условие: Даны векторы \(\vec{a}(5; 7)\), \(\vec{b}(2; -9)\) и \(\vec{c}(-6; 2)\). Найти \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}\). Решение: 1) Найдем координаты вектора \(\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}\): \[ d_x = 5 - 2 = 3 \] \[ d_y = 7 - (-9) = 16 \] Получаем \(\vec{d}(3; 16)\). 2) Вычислим скалярное произведение \(\vec{d} \cdot \vec{c}\): \[ \vec{d} \cdot \vec{c} = d_x \cdot c_x + d_y \cdot c_y = 3 \cdot (-6) + 16 \cdot 2 = -18 + 32 = 14 \] Ответ: 14 Задание 4 Условие: Вероятность того, что температура ниже \(36,8^\circ C\), равна 0,76. Найти вероятность того, что температура \(36,8^\circ C\) или выше. Решение: События "температура ниже \(36,8^\circ C\)" и "температура \(36,8^\circ C\) или выше" являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1. \[ P = 1 - 0,76 = 0,24 \] Ответ: 0,24 Задание 6 Условие: Решить уравнение \(\log_9(3 + x) = \log_9 11\). Решение: Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: \[ 3 + x = 11 \] \[ x = 11 - 3 \] \[ x = 8 \] Проверка: \(3 + 8 = 11 > 0\), условие существования логарифма выполняется. Ответ: 8 Задание 7 Условие: Найти значение выражения \(\left( \frac{4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{4}} \right)^2\). Решение: 1) Упростим выражение внутри скобок, используя свойства степеней \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) и \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\): \[ \sqrt[12]{4} = 4^{\frac{1}{12}} \] \[ \frac{4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{12}}} = 4^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12}} \] 2) Приведем дроби к общему знаменателю 12: \[ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] 3) Возведем в квадрат: \[ (4^{\frac{1}{2}})^2 = 4^1 = 4 \] Ответ: 4 Задание 8 Условие: Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику \(y = f(x)\) параллельна прямой \(y = 6 - 2x\). Дан график производной \(f'(x)\). Решение: 1) Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: \(k = f'(x_0)\). 2) У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Для прямой \(y = -2x + 6\) коэффициент \(k = -2\). 3) Значит, нам нужно найти точку на графике производной, где \(y = -2\). 4) По графику \(f'(x)\) находим, что значение \(-2\) достигается при \(x = -2\). Ответ: -2