Решение задач на среднюю линию трапеции

Задача № 1. Дано: Трапеция, \( m = 14 \) см (средняя линия), \( a \) и \( b \) — основания. \( b = a + 8 \). Найти: \( a, b \). Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Подставим известные значения: \[ 14 = \frac{a + (a + 8)}{2} \] \[ 28 = 2a + 8 \] \[ 2a = 20 \] \[ a = 10 \text{ (см)} \] Тогда второе основание: \[ b = 10 + 8 = 18 \text{ (см)} \] Ответ: 10 см и 18 см. Задача № 2. Дано: Трапеция, \( m = 22 \) см, \( a : b = 5 : 6 \). Найти: \( a, b \). Решение: Пусть \( x \) — коэффициент пропорциональности. Тогда \( a = 5x \), \( b = 6x \). Используем формулу средней линии: \[ \frac{5x + 6x}{2} = 22 \] \[ \frac{11x}{2} = 22 \] \[ 11x = 44 \] \[ x = 4 \] Основания равны: \[ a = 5 \cdot 4 = 20 \text{ (см)} \] \[ b = 6 \cdot 4 = 24 \text{ (см)} \] Ответ: 20 см и 24 см. Задача № 3. Дано: Трапеция, \( b : m = 4 : 3 \), \( a = 12 \) см. Найти: \( m \). Решение: Пусть \( m = 3x \), тогда \( b = 4x \). Подставим в формулу средней линии \( m = \frac{a + b}{2} \): \[ 3x = \frac{12 + 4x}{2} \] \[ 6x = 12 + 4x \] \[ 2x = 12 \] \[ x = 6 \] Средняя линия равна: \[ m = 3 \cdot 6 = 18 \text{ (см)} \] Ответ: 18 см. Задача № 4. Дано: Равнобедренная трапеция \( ABCD \), \( BH \) — высота. \( AH \) и \( HD \) — отрезки большего основания. \( HD = 35 \) см (больший отрезок). \( HD = 5 \cdot AH \). Найти: \( m \) (среднюю линию). Решение: 1) Найдем меньший отрезок \( AH \): \[ AH = \frac{HD}{5} = \frac{35}{5} = 7 \text{ (см)} \] 2) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, больший из которых равен средней линии трапеции. Докажем это: Пусть \( a \) — меньшее основание, \( b \) — большее. \[ AH = \frac{b - a}{2} \] \[ HD = b - AH = b - \frac{b - a}{2} = \frac{2b - b + a}{2} = \frac{a + b}{2} \] Так как \( m = \frac{a + b}{2} \), то \( m = HD \). 3) Следовательно, средняя линия равна большему отрезку: \[ m = 35 \text{ (см)} \] Ответ: 35 см.