Решение производной функции sin(ln(x))

На фотографии изображено задание на нахождение производной функции. Задание: Найти производную функции \( f(x) = \sin(\ln(x)) \). Решение: Для решения воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: \[ (g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] В нашем случае внешняя функция — это синус, а внутренняя — натуральный логарифм. 1. Производная внешней функции \( \sin(u) \) равна \( \cos(u) \). 2. Производная внутренней функции \( \ln(x) \) равна \( \frac{1}{x} \). Применим эти правила: \[ (\sin(\ln(x)))' = \cos(\ln(x)) \cdot (\ln(x))' \] Подставим производную логарифма: \[ (\sin(\ln(x)))' = \cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} \] Запишем итоговый результат в виде дроби: \[ f'(x) = \frac{\cos(\ln(x))}{x} \] Ответ: \( \frac{\cos(\ln(x))}{x} \)