Решение производной sin(e^(4x))

На фотографии представлено задание на нахождение производной сложной функции. Задание: Найти производную функции \( f(x) = \sin(e^{4x}) \). Решение: Для решения данной задачи воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): \[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] В нашем случае функция состоит из нескольких уровней вложенности: 1. Внешняя функция: синус \( \sin(u) \). 2. Промежуточная функция: экспонента \( e^v \). 3. Внутренняя функция: линейное выражение \( 4x \). Выполним дифференцирование пошагово: 1. Производная синуса — это косинус: \[ (\sin(e^{4x}))' = \cos(e^{4x}) \cdot (e^{4x})' \] 2. Теперь найдем производную экспоненты. Производная \( e^u \) равна \( e^u \cdot u' \): \[ (e^{4x})' = e^{4x} \cdot (4x)' \] 3. Производная \( 4x \) равна \( 4 \): \[ (4x)' = 4 \] Соберем все части вместе: \[ f'(x) = \cos(e^{4x}) \cdot e^{4x} \cdot 4 \] Для удобства записи перенесем числовой коэффициент и экспоненту в начало выражения: \[ f'(x) = 4e^{4x}\cos(e^{4x}) \] Ответ: \( 4e^{4x}\cos(e^{4x}) \)