Решение задач по теме «Синус, косинус, тангенс угла» (ОГЭ, Вариант 2)

Задания для подготовки к ОГЭ по теме «Синус, косинус, тангенс угла» Вариант 2 Решения задач: 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 11 \), \( AB = 20 \). Найти \( \sin B \). Решение: По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{11}{20} = 0,55 \] Ответ: 0,55. 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 16 \), \( AB = 25 \). Найти \( \cos B \). Решение: По определению косинуса: \[ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{16}{25} = 0,64 \] Ответ: 0,64. 3. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 3 \), \( AC = 18 \). Найти \( tg B \). Решение: По определению тангенса: \[ tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{18}{3} = 6 \] Ответ: 6. 4. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \sin B = \frac{7}{12} \), \( AB = 48 \). Найти \( AC \). Решение: Так как \( \sin B = \frac{AC}{AB} \), то: \[ AC = AB \cdot \sin B = 48 \cdot \frac{7}{12} = 4 \cdot 7 = 28 \] Ответ: 28. 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \cos B = \frac{9}{10} \), \( AB = 60 \). Найти \( BC \). Решение: Так как \( \cos B = \frac{BC}{AB} \), то: \[ BC = AB \cdot \cos B = 60 \cdot \frac{9}{10} = 6 \cdot 9 = 54 \] Ответ: 54. 6. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( tg B = \frac{9}{7} \), \( BC = 42 \). Найти \( AC \). Решение: Так как \( tg B = \frac{AC}{BC} \), то: \[ AC = BC \cdot tg B = 42 \cdot \frac{9}{7} = 6 \cdot 9 = 54 \] Ответ: 54. 7. Дано: \( \sin A = \frac{3\sqrt{11}}{10} \). Найти \( \cos A \). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \): \[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 11}{100}} = \sqrt{1 - \frac{99}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = 0,1 \] Ответ: 0,1. 8. Дано: \( \cos A = \frac{3\sqrt{7}}{8} \). Найти \( \sin A \). Решение: \[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 7}{64}} = \sqrt{1 - \frac{63}{64}} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8} = 0,125 \] Ответ: 0,125. 9. Дано: \( \sin A = \frac{4}{5} \). Найти \( tg B \). Решение: В прямоугольном треугольнике \( \sin A = \frac{BC}{AB} \), а \( tg B = \frac{AC}{BC} \). Сначала найдем \( \cos A \): \[ \cos A = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5 \] Так как \( \cos A = \frac{AC}{AB} \), то \( AC = AB \cdot \frac{3}{5} \) и \( BC = AB \cdot \frac{4}{5} \). \[ tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{3}{5}AB}{\frac{4}{5}AB} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Ответ: 0,75. 10. Найти тангенс угла AOB по рисунку. Решение: Достроим угол до прямоугольного треугольника, опустив перпендикуляр из точки B на луч OA. По клеткам видно: противолежащий катет (высота от B до OA) равен 4 клеткам, прилежащий катет (расстояние от O до основания перпендикуляра) равен 3 клеткам. \[ tg \angle AOB = \frac{4}{3} \approx 1,33 \] (Если в задаче подразумевается целое число или конечная дробь, проверьте масштаб клеток, но по рисунку это 4/3). Ответ: 4/3.