Сокращение дробей: подробное решение

Задание: Сократите дроби. а) \(\frac{b^2 - b - 6}{9b + 18}\) Решение: 1. Разложим числитель \(b^2 - b - 6\) на множители. Для этого решим квадратное уравнение \(b^2 - b - 6 = 0\). По теореме Виета: \[b_1 + b_2 = 1\] \[b_1 \cdot b_2 = -6\] Корни уравнения: \(b_1 = 3\), \(b_2 = -2\). Следовательно, \(b^2 - b - 6 = (b - 3)(b + 2)\). 2. В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: \[9b + 18 = 9(b + 2)\] 3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на \((b + 2)\): \[\frac{(b - 3)(b + 2)}{9(b + 2)} = \frac{b - 3}{9}\] Ответ: \(\frac{b - 3}{9}\). б) \(\frac{7 + 6c - c^2}{21 - 3c}\) Решение: 1. Разложим числитель \(7 + 6c - c^2\) на множители. Приравняем его к нулю: \(-c^2 + 6c + 7 = 0\). Умножим на \(-1\): \(c^2 - 6c - 7 = 0\). По теореме Виета: \[c_1 + c_2 = 6\] \[c_1 \cdot c_2 = -7\] Корни уравнения: \(c_1 = 7\), \(c_2 = -1\). Разложение квадратного трехчлена \(a(c - c_1)(c - c_2)\) при \(a = -1\): \[-(c - 7)(c + 1) = (7 - c)(c + 1)\] 2. В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: \[21 - 3c = 3(7 - c)\] 3. Подставим выражения в дробь и сократим на \((7 - c)\): \[\frac{(7 - c)(c + 1)}{3(7 - c)} = \frac{c + 1}{3}\] Ответ: \(\frac{c + 1}{3}\).