Решение задачи: Разность дробей равна произведению

Задание: Найди значение переменной \(t\), при котором разность дробей \(\frac{1}{t-2}\) и \(\frac{9}{t+2}\) равна их произведению. Решение: Составим уравнение согласно условию задачи: \[ \frac{1}{t-2} - \frac{9}{t+2} = \frac{1}{t-2} \cdot \frac{9}{t+2} \] 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно: \(t - 2 \neq 0 \Rightarrow t \neq 2\) \(t + 2 \neq 0 \Rightarrow t \neq -2\) 2. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю \((t-2)(t+2)\): \[ \frac{1 \cdot (t+2) - 9 \cdot (t-2)}{(t-2)(t+2)} = \frac{9}{(t-2)(t+2)} \] 3. Так как знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю, мы можем приравнять числители: \[ (t+2) - 9(t-2) = 9 \] 4. Раскроем скобки: \[ t + 2 - 9t + 18 = 9 \] 5. Приведем подобные слагаемые: \[ -8t + 20 = 9 \] 6. Перенесем число 20 в правую часть уравнения с противоположным знаком: \[ -8t = 9 - 20 \] \[ -8t = -11 \] 7. Найдем \(t\), разделив обе части на -8: \[ t = \frac{-11}{-8} \] \[ t = 1,375 \] Найденное значение \(t = 1,375\) удовлетворяет ОДЗ. Ответ: \(t = 1,375\).