Решение задачи на экстремум функции двух переменных: z = 3x^2 + y^2 - 6x + 4y + 2

Задание 1. Исследовать функцию двух переменных на экстремум. Дана функция: \[ z = 3x^2 + y^2 - 6x + 4y + 2 \] Решение: 1. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 6 \] \[ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2y + 4 \] 2. Найдем критические точки, приравняв частные производные к нулю: \[ \begin{cases} 6x - 6 = 0 \\ 2y + 4 = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения: \( 6x = 6 \Rightarrow x = 1 \). Из второго уравнения: \( 2y = -4 \Rightarrow y = -2 \). Получаем критическую точку \( M(1; -2) \). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6 \] \[ C = z''_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \] \[ B = z''_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \] 4. Проверим достаточное условие экстремума в точке \( M(1; -2) \). Вычислим определитель \( \Delta \): \[ \Delta = AC - B^2 = 6 \cdot 2 - 0^2 = 12 \] Так как \( \Delta > 0 \), то в точке \( M \) функция имеет экстремум. Так как \( A = 6 > 0 \), то точка \( M(1; -2) \) является точкой локального минимума. 5. Вычислим значение функции в этой точке: \[ z_{min} = z(1; -2) = 3(1)^2 + (-2)^2 - 6(1) + 4(-2) + 2 \] \[ z_{min} = 3 + 4 - 6 - 8 + 2 = -5 \] Ответ: Точка минимума \( M(1; -2) \), минимальное значение функции \( z_{min} = -5 \).