Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Задание 2. Изменить порядок интегрирования. Дан повторный интеграл: \[ I = \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{2-x^2} f(x, y) dy \] Решение: 1. Опишем область интегрирования \( D \) по заданным пределам: \[ 0 \le x \le 1 \] \[ x^2 \le y \le 2 - x^2 \] Область ограничена снизу параболой \( y = x^2 \), сверху параболой \( y = 2 - x^2 \), слева осью \( Oy \) (\( x = 0 \)) и справа точкой пересечения кривых (\( x = 1 \)). 2. Найдем точки пересечения границ: При \( x = 0 \): \( y = 0^2 = 0 \) и \( y = 2 - 0^2 = 2 \). При \( x = 1 \): \( y = 1^2 = 1 \) и \( y = 2 - 1^2 = 1 \). Таким образом, по оси \( Oy \) область простирается от \( y = 0 \) до \( y = 2 \). 3. Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно выразить \( x \) через \( y \). Заметим, что характер изменения границы по \( x \) меняется в точке \( y = 1 \). Поэтому разобьем область на две части: Часть 1 (нижняя): \( 0 \le y \le 1 \). Здесь область ограничена слева \( x = 0 \), а справа параболой \( y = x^2 \). Выражаем \( x \): \( x = \sqrt{y} \). Пределы: \( 0 \le x \le \sqrt{y} \). Часть 2 (верхняя): \( 1 \le y \le 2 \). Здесь область ограничена слева \( x = 0 \), а справа параболой \( y = 2 - x^2 \). Выражаем \( x \): \( x^2 = 2 - y \Rightarrow x = \sqrt{2 - y} \). Пределы: \( 0 \le x \le \sqrt{2 - y} \). 4. Запишем сумму двух интегралов с измененным порядком: \[ I = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx + \int_{1}^{2} dy \int_{0}^{\sqrt{2-y}} f(x, y) dx \] Ответ: \[ \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx + \int_{1}^{2} dy \int_{0}^{\sqrt{2-y}} f(x, y) dx \]