Решение задачи про углы правильного многоугольника

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильного многоугольника. Обозначим количество сторон многоугольника через \(n\). На рисунке \(\angle 1\) — это внутренний угол многоугольника, а \(\angle 2\) — внешний угол. Известно, что сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине равна \(180^\circ\), так как они являются смежными: \[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \] Также сумма всех внешних углов правильного \(n\)-угольника (взятых по одному при каждой вершине) всегда равна \(360^\circ\). Следовательно, внешний угол вычисляется по формуле: \[ \angle 2 = \frac{360^\circ}{n} \] Решим задачу для каждого условия по отдельности. Условие 1: \(\angle 2 < \angle 1\) в 11 раз. Это означает, что \(\angle 1 = 11 \cdot \angle 2\). Подставим это в уравнение суммы углов: \[ 11 \cdot \angle 2 + \angle 2 = 180^\circ \] \[ 12 \cdot \angle 2 = 180^\circ \] \[ \angle 2 = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ \] Теперь найдем количество сторон \(n\): \[ n = \frac{360^\circ}{\angle 2} = \frac{360^\circ}{15^\circ} = 24 \] Ответ для первого условия: 24 стороны. Условие 2: \(\angle 1 : \angle 2 = 13 : 2\). Пусть одна часть составляет \(x\) градусов. Тогда \(\angle 1 = 13x\), а \(\angle 2 = 2x\). Составим уравнение: \[ 13x + 2x = 180^\circ \] \[ 15x = 180^\circ \] \[ x = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ \] Найдем величину внешнего угла \(\angle 2\): \[ \angle 2 = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ \] Теперь найдем количество сторон \(n\): \[ n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15 \] Ответ для второго условия: 15 сторон.