Решение задачи №25: Найти длину стороны AD

Задача №25 Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник. Точка \(K\) равноудалена от всех вершин: \(KA = KB = KC = KD\). \(K\) — середина \(AD\). \(BC = 23\sqrt{3}\). \(\angle B = 75^\circ\), \(\angle C = 135^\circ\). Найти: \(AD\). Решение: 1. Так как точка \(K\) равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром описанной около него окружности. Следовательно, \(ABCD\) — вписанный четырёхугольник. 2. По условию \(K\) лежит на стороне \(AD\) и является её серединой. Это означает, что \(AD\) является диаметром описанной окружности, так как центр окружности \(K\) делит хорду \(AD\) пополам и \(KA = KD = R\), где \(R\) — радиус окружности. 3. Поскольку \(AD\) — диаметр, то \(AD = 2R\). 4. Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). \[ \angle A + \angle C = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] \[ \angle D + \angle B = 180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \] 5. Рассмотрим треугольник \(ABC\). По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность: \[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \] Подставим известные значения: \[ 2R = \frac{23\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} \] \[ 2R = \frac{23\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{46\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 23\sqrt{6} \] 6. Так как \(AD = 2R\), получаем: \[ AD = 23\sqrt{6} \] Ответ: \(23\sqrt{6}\)