Решение задачи №13: Площадь четырехугольника ABCD

Задача №13 Дано: Четырехугольник \(ABCD\). Стороны: \(AB = 11\), \(BC = 13\), \(CD = 15\), \(AD = 7\). Диагональ \(AC = 20\). Решение: Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников \(ABC\) и \(ADC\). Воспользуемся формулой Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) — полупериметр. 1) Для \(\triangle ABC\): \(p_1 = \frac{11 + 13 + 20}{2} = \frac{44}{2} = 22\) \(S_{ABC} = \sqrt{22 \cdot (22-11) \cdot (22-13) \cdot (22-20)} = \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2} = \sqrt{4356} = 66\) 2) Для \(\triangle ADC\): \(p_2 = \frac{7 + 15 + 20}{2} = \frac{42}{2} = 21\) \(S_{ADC} = \sqrt{21 \cdot (21-7) \cdot (21-15) \cdot (21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{1764} = 42\) 3) Общая площадь: \(S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 66 + 42 = 108\) Ответ: 108. Задача №14 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. Высота \(BK = 3\), \(\angle A = 30^\circ\). Высота \(BH = 2\sqrt{3}\). Решение: 1) Из прямоугольного \(\triangle ABK\): \(\sin 30^\circ = \frac{BK}{AB} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{AB} \Rightarrow AB = 6\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то сторона \(CD = AB = 6\). 2) Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны на высоту, проведенную к ней: \(S = CD \cdot BH = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Ответ: \(12\sqrt{3}\). Задача №15 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(BC = 10\), \(\angle A = 30^\circ\). На чертеже отмечено, что \(BD\) является биссектрисой угла \(D\) (равные дуги). Решение: 1) В параллелограмме противоположные углы равны, значит \(\angle C = \angle A = 30^\circ\). 2) Так как \(AD \parallel BC\), то накрест лежащие углы равны: \(\angle ADB = \angle DBC\). 3) Поскольку \(BD\) — биссектриса \(\angle D\), то \(\angle ADB = \angle BDC\). Следовательно, \(\angle DBC = \angle BDC\). 4) Значит, \(\triangle BCD\) — равнобедренный, и \(CD = BC = 10\). 5) Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними: \(S = BC \cdot CD \cdot \sin C = 10 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\). Ответ: 50.