Решение квадратных уравнений теоремой Виета

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида \(x^2 + px + q = 0\) теорема Виета гласит: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} \] 1) \(x^2 - 2x + 1 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = 1 \end{cases} \] Методом подбора находим: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\) Ответ: 1. 2) \(x^2 - 6x + 9 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 \cdot x_2 = 9 \end{cases} \] Методом подбора находим: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 3\) Ответ: 3. 3) \(x^2 + 2x + 8 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases} \] Проверим дискриминант: \(D = p^2 - 4q = 2^2 - 4 \cdot 8 = 4 - 32 = -28\). Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. 4) \(x^2 - 3x - 40 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -40 \end{cases} \] Подбираем множители числа -40, сумма которых равна 3. Это 8 и -5. \(x_1 = 8\), \(x_2 = -5\) Ответ: -5; 8. 5) \(x^2 - 5x - 7 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = -7 \end{cases} \] Целых решений нет. Найдем корни через дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 25 + 28 = 53\) \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{53}}{2} \] Ответ: \(\frac{5 - \sqrt{53}}{2}\); \(\frac{5 + \sqrt{53}}{2}\).