Решение контрольной работы №2 «Площади», 8 класс, Вариант 2

Контрольная работа № 2 «Площади», 8 класс, Вариант 2. Задача 1. Дано: параллелограмм, \(a = 8\) см, \(b = 5\) см, \(\alpha = 30^\circ\). Найти: \(S\). Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[S = a \cdot b \cdot \sin \alpha\] Подставим значения: \[S = 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20 \text{ (см}^2)\] Ответ: 20 \(см^2\). Задача 2. Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза \(c = 15\) см, катет \(a = 9\) см. Найти: катет \(b\). Решение: По теореме Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\] Отсюда: \[b^2 = c^2 - a^2\] \[b^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\] \[b = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}\] Ответ: 12 см. Задача 3. Дано: трапеция, \(h = 7\) см, \(S = 84\) \(см^2\), одно основание в 5 раз больше другого. Найти: основания \(a\) и \(b\). Решение: Пусть меньшее основание \(a = x\) см, тогда большее основание \(b = 5x\) см. Формула площади трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] Подставим данные: \[84 = \frac{x + 5x}{2} \cdot 7\] \[84 = \frac{6x}{2} \cdot 7\] \[84 = 3x \cdot 7\] \[84 = 21x\] \[x = 84 : 21 = 4\] Значит, \(a = 4\) см, \(b = 5 \cdot 4 = 20\) см. Ответ: 4 см и 20 см. Задача 4. Дано: треугольник, \(S = 72\) \(см^2\), высота \(h\) в 4 раза больше стороны \(a\). Найти: \(h\). Решение: Пусть сторона \(a = x\) см, тогда высота \(h = 4x\) см. Формула площади треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] \[72 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4x\] \[72 = 2x^2\] \[x^2 = 36\] \[x = 6 \text{ (см)}\] Тогда высота \(h = 4 \cdot 6 = 24\) см. Ответ: 24 см. Задача 5. Дано: параллелограмм, \(P = 36\) см, \(h = 6\) см, один из углов на \(60^\circ\) меньше прямого. Найти: \(S\). Решение: 1) Найдем острый угол параллелограмма: \[\alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\] 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(h\), боковой стороной \(b\) и частью основания. В нем высота \(h\) лежит против угла \(30^\circ\), значит, она равна половине гипотенузы (боковой стороны \(b\)): \[b = 2 \cdot h = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (см)}\] 3) Периметр параллелограмма \(P = 2(a + b)\): \[36 = 2(a + 12)\] \[18 = a + 12\] \[a = 6 \text{ (см)}\] 4) Площадь параллелограмма: \[S = a \cdot h = 6 \cdot 6 = 36 \text{ (см}^2)\] Ответ: 36 \(см^2\).