Решение задачи с векторами: координаты, модули, скалярное произведение

Вариант 2 Задача 1 Дано: \(A(2; -1)\), \(C(3; 2)\), \(D(-3; 1)\). а) Координаты векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\): Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. \[\vec{AC} = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)\] \[\vec{AD} = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)\] б) Модули векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\): \[|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\] \[|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\] в) Координаты вектора \(\vec{EF} = 3\vec{AC} - 2\vec{AD}\): \[3\vec{AC} = (3 \cdot 1; 3 \cdot 3) = (3; 9)\] \[2\vec{AD} = (2 \cdot (-5); 2 \cdot 2) = (-10; 4)\] \[\vec{EF} = (3 - (-10); 9 - 4) = (13; 5)\] г) Скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\): \[\vec{AC} \cdot \vec{AD} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1\] д) Косинус угла между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\): \[\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}\] Задача 3 Дано: \(\vec{a}(3; -4)\), \(\vec{b}(m; 9)\). а) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: \[\frac{3}{m} = \frac{-4}{9}\] \[-4m = 27\] \[m = -6,75\] б) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot m + (-4) \cdot 9 = 0\] \[3m - 36 = 0\] \[3m = 36\] \[m = 12\] Задача 5 Дано: \(\vec{m} = 5\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{b}\), \(\vec{a} \perp \vec{b}\) (значит \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\). Найти: \(\cos(\vec{m}, \vec{n})\). 1) Найдем скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{n}\): \[\vec{m} \cdot \vec{n} = (5\vec{a} + \vec{b})(2\vec{a} - \vec{b}) = 10\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{b} - \vec{b}^2\] Так как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) и \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1\): \[\vec{m} \cdot \vec{n} = 10 \cdot 1 - 0 + 0 - 1 = 9\] 2) Найдем длины векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\): \[|\vec{m}| = \sqrt{(5\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{25\vec{a}^2 + 10\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{25 + 0 + 1} = \sqrt{26}\] \[|\vec{n}| = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4\vec{a}^2 - 4\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{4 - 0 + 1} = \sqrt{5}\] 3) Вычислим косинус: \[\cos \phi = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{9}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{130}}\]