Задача №1194: Длина окружности, вписанной в квадрат и треугольник

Задача №1194 Найдите длину окружности, вписанной в заданные фигуры. Общая формула длины окружности: \[ L = 2\pi r \] где \( r \) — радиус вписанной окружности. а) Квадрат со стороной \( a \). Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны: \[ r = \frac{a}{2} \] Тогда длина окружности: \[ L = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a \] Ответ: \( \pi a \). б) Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c \). Пусть катеты равны \( x \). По теореме Пифагора: \( x^2 + x^2 = c^2 \), откуда \( 2x^2 = c^2 \), значит \( x = \frac{c}{\sqrt{2}} \). Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] В нашем случае: \[ r = \frac{\frac{c}{\sqrt{2}} + \frac{c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{\frac{2c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{c\sqrt{2} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2} - 1)}{2} \] Длина окружности: \[ L = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2} - 1)}{2} = \pi c(\sqrt{2} - 1) \] Ответ: \( \pi c(\sqrt{2} - 1) \). в) Прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c \) и острым углом \( \alpha \). Катеты треугольника равны: \( a = c \cdot \sin \alpha \) и \( b = c \cdot \cos \alpha \). Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{c \sin \alpha + c \cos \alpha - c}{2} = \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} \] Длина окружности: \[ L = 2\pi \cdot \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} = \pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1) \] Ответ: \( \pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1) \). г) Равнобедренный треугольник с углом при основании \( \alpha \) и высотой \( h \), проведенной к основанию. Высота \( h \) является также биссектрисой и медианой. Пусть основание равно \( 2x \). Из прямоугольного треугольника: \( x = \frac{h}{\text{tg} \alpha} \). Боковая сторона \( b = \frac{h}{\sin \alpha} \). Радиус вписанной окружности можно найти через площадь \( S \) и полупериметр \( p \): \( r = \frac{S}{p} \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot h = x \cdot h = \frac{h^2}{\text{tg} \alpha} \] \[ p = \frac{2x + 2b}{2} = x + b = \frac{h}{\text{tg} \alpha} + \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{h(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha} \] Используя формулы тригонометрии: \( 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \): \[ p = \frac{h \cdot 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = h \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} \] \[ r = \frac{h^2 / \text{tg} \alpha}{h \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2}} = \frac{h}{\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2}} \] Длина окружности: \[ L = \frac{2\pi h}{\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2}} \] Ответ: \( \frac{2\pi h}{\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2}} \).